【題目】如圖,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D為AB延長線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC邊上,且BE=BD,連接AE、DE、DC。
(1)求證:△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BCD的度數(shù)。
【答案】(1)見解析;(2)15°.
【解析】
(1)由∠ABC為直角,得到∠CBD也為直角,得到一對角相等,再由AB=CB,BE=BD,利用SAS即可得到三角形ABE與三角形CBD全等,得證;
(2)由AB=BC,且∠ABC為直角,得到三角形ABC為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC為45°,由∠CAB-∠CAE求出∠BAE的度數(shù),根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠BAE=∠BCD,即可求出∠BCD的度數(shù).
(1)證明:∵∠ABC=90°,D為AB延長線上一點(diǎn),
∴∠ABE=∠CBD=90°,
在△ABE和△CBD中,
,
∴△ABE≌△CBD(SAS);
(2)解:∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°,
又∵∠CAE=30°,
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=15°
∵△ABE≌△CBD,
∴∠BCD=∠BAE=15°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等邊△ABC中,點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿CA方向運(yùn)動,同時點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時,P,Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動,連接PQ,交AB于點(diǎn)M.
(1)如圖①,當(dāng)PQ⊥BC時,求證:AP=AM.
(2)如圖②,試說明:在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動的過程中,PM=QM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處,折痕為EF,若∠EFC′=120°,那么∠ABE的度數(shù)為__________。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,為等腰直角三角形,,F是AC邊上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)F與A、C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF、AD.
(1)猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系,直接寫出結(jié)論,_____________.
(2)將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度,得到如圖2的情形,BF交AC于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)O,請你判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立,證明你的判斷.
(3)將圖1中的正方形CDEF,繞著點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn),得到如圖3的情形,點(diǎn)恰好落在斜邊上,若,求正方形CDEF的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,且于點(diǎn)E,與CD相交于點(diǎn)F,于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)G.下列結(jié)論:①BD=CD;②AD+CF=BD;③;④AE=CF.其中正確的是____________(填序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:如圖①,在△ABD與△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易證:△ABD≌△CAE.(不需要證明)
特例探究:如圖②,在等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上,且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F.求證:△ABD≌△CAE.
歸納證明:如圖③,在等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊CB、BA的延長線上,且BD=AE.△ABD與△CAE是否全等?如果全等,請證明;如果不全等,請說明理由.
拓展應(yīng)用:如圖④,在等腰三角形中,AB=AC,點(diǎn)O是AB邊的垂直平分線與AC的交點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在OB、BA的延長線上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法一定正確的是( )
A.所有的等邊三角形都是全等三角形
B.全等三角形是指形狀相同的兩個三角形
C.全等三角形是指面積相等的兩個三角形
D.全等三角形的周長和面積分別相等
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,點(diǎn)D、E分別為AB、AC上的點(diǎn),且DE∥BC.將△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B、A、E在同一條直線上,連接BD、EC.下列結(jié)論:①△ADE的旋轉(zhuǎn)角為120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC,其中正確的有( )
A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)(不與O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P,作AF⊥PC于點(diǎn)F,連接CB.
(1)求證:AC平分∠FAB;
(2)求證:BC2=CECP;
(3)當(dāng)AB=4且=時,求劣弧的長度.
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