【題目】定義:圓心在三角形的一邊上,與另一邊相切,且經(jīng)過三角形一個頂點(非切點)的圓,稱為這個三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”.
(1)如圖1,△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則AC邊上的伴隨圓的半徑為 .
(2)如圖2,已知等腰△ABC,AB=AC=5,BC=6,畫草圖并直接寫出它的所有伴隨圓的半徑.
(3)如圖3,△ABC中,∠ACB=90°,點P在邊AB上,AP=2BP,D為AC中點,且∠CPD=90°.
①求證:△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓;
②求cos∠PDC的值.
【答案】
(1)2
(2)解:當O在BC上時,如圖(1)所示:連接OD,過點A作AE⊥BC.
∵AB=AC,AE⊥BC,
∴BE=EC=3.
在△AEB中,由勾股定理可知AE= =4.
∵AB與⊙O相切,
∴OD⊥AB.
∴∠BDO=∠BEA=90°.
又∵∠OBD=∠EBA,
∴△ODB∽△AEB.
∴ .
設(shè)⊙O的半徑為r.在OB=6﹣r.
∴ .
∴r= .
∴△ABC的BC邊上的伴隨圓的半徑為 .
當O在AB上時,如圖(2),連接OD、過點A作AE⊥BC,垂足為E.
∵BC與⊙O相切,∴OD⊥BC.又∵AE⊥BC,
∴OD∥AE.∴△BOD∽△BAE.
∴ .
設(shè)⊙O的半徑為r,則OB=5﹣r.∴ .∴r= .
如圖(3)所示:連接OD、過點B作BF⊥AC,過點A作AE⊥BC,垂足為E.
∵S△ABC= BCAE= ACBF,∴ ×6×4= ×5×BF.∴BF=4.8.
∵AC與⊙O相切,∴DO⊥AC.∴DO∥BF.
∴△AOD∽△ABF.∴ 即 .∴r= .
綜上所述,△ABC的伴隨圓的半徑分為 或 或
(3)解:①證明:如圖(4)連接OP、OB.
∵△CPD為直角三角形,
∴△CPD的外接圓圓心O在CD中點.
設(shè)⊙O的半徑為r,則DC=2r,OA=3r.∴ .∵PA=2BP,
∴ .∴ .∴PD∥OB.∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵∠3=∠2,∴∠1=∠4.在△BCO和△BPO中 ,∴△BCO≌△BPO.
∴∠BPO=∠BCO=90°.∴AB是圓O的切線.
∴△CPD的外接圓是△ABC某一條邊上的伴隨圓.
②如圖(4)設(shè)圓O的半徑為r.
∵在Rt△OAP中,OA=3r,OP=r,
∴PA= =2 r.
∴AB=3 r.
∵在Rt△ABC中,AC=4r,AB=3 r,
∴BC= = a.
∵在Rt△OBC中,OC=r,BC= r,
∴OB= = r.
∴cos∠1= = = .
∵∠PDC=∠1,
∴cos∠PDC=
【解析】(1)∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC= =4.
∵BC是圓的切線,∠BCA=90°,
∴AC為圓的直徑.
∴AC邊上的半隨圓的半徑為2.
所以答案是:2.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識,掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑,以及對切線的判定定理的理解,了解切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在第一象限內(nèi),點P(2,3),M(a,2)是雙曲線y= (k≠0)上的兩點,PA⊥x軸于點A,MB⊥x軸于點B,PA與OM交于點C,則△OAC的面積為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】暑假期間,小剛一家乘車去離家380公里的某景區(qū)旅游,他們離家的距離y(km)與汽車行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)從小剛家到該景區(qū)乘車一共用了多少時間?
(2)求線段AB對應的函數(shù)解析式;
(3)小剛一家出發(fā)2.5小時時離目的地多遠?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知,,其中滿足.
(1)填空:_______,________;
(2)若在第三象限內(nèi)有一點,用含的式子表示的面積;
(3)在(2)條件下,當時,點是坐標軸上的動點,當滿足的面積是的面積的2倍時,求點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時,發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”,即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖(1)、圖(2)、圖(3)中,AM、BN是△ABC的中線,AM⊥BN于點P,像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.
(1)【特例探究】
如圖1,當tan∠PAB=1,c=4 時,a= , b=;
如圖2,當∠PAB=30°,c=2時,a= , b=;
(2)【歸納證明】
請你觀察(1)中的計算結(jié)果,猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來,并利用圖3證明你的結(jié)論.
(3)【拓展證明】
如圖4,ABCD中,E、F分別是AD、BC的三等分點,且AD=3AE,BC=3BF,連接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF與BE相交點G,AD=3 ,AB=3,求AF的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①②,的兩邊分別平行.
(1)在圖①中,與有什么數(shù)量關(guān)系?為什么?
(2)在圖②中,與有什么數(shù)量關(guān)系?為什么?
(3)由(1)(2)你能得出什么結(jié)論?用一句話概括你得到的結(jié)論.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是菱形,點C的坐標為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移,設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M,N(點M在點N的上方),若△OMN的面積為S,直線l的運動時間為t 秒(0≤t≤4),則能大致反映S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是( )
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,點P是CD的中點,∠BCD=60°,射線AP交BC的延長線于點E,射線BP交DE于點K,點O是線段BK的中點,作BM⊥AE于點M,作KN⊥AE于點N,連結(jié)MO、NO,以下四個結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN= ;③BP=4PK;④PMPA=3PD2 , 其中正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com