Question

已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從B、A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA、AC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AP=2AQ？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形？
（3）作DQ∥AB交BC于點(diǎn)D，連接PD，當(dāng)t為何值，△BDP∽△PDQ？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）由題意可知BP=t，AQ=2t，則AP=6-t，由AP=2AQ可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；
（2）分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可和AP=2AQ，或AQ=2AP，分別求t即可；
（3）由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ，且∠BDQ+∠B=180°，可求得∠PDQ=60°，又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ，可證得△APQ為等邊三角形，可得AP=AQ，得到關(guān)于t的方程，可求出t．

解答：解：（1）由題意得：BP=t，AQ=2t，則AP=6-t，
由AP=2AQ得，6-t=4t，解得t=

6

5

，
即當(dāng)t=

6

5

時(shí)，AP=2AQ；
（2）若△APQ為直角三角形，則∠APQ=90°或∠AQP=90°，
當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，

AP

AQ

=cosA=cos60°=

1

2

，即

6-t

2t

=

1

2

，解得t=3；
當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，

AQ

AP

=cosA=cos60°=

1

2

，即

2t

6-t

=

1

2

，解得t=

6

5

．
∴當(dāng)t=3或t=

6

5

時(shí)，△APQ為直角三角形；
（3）∵DQ∥AB，
∴

AQ

CA

=

BD

BC

，
∵CA=CB，
∴BD=AQ=2t，
又∵DQ∥AB，
∴∠APQ=∠PDQ，
當(dāng)△BDP∽△PDQ時(shí)，
∴∠B=∠PQD，
∴∠B=∠APQ=60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴AP=AQ，即6-t=2t，解得t=2．
所以當(dāng)t=2時(shí)，△BDP∽△PDQ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，利用條件得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵，注意分類思想和方程思想的應(yīng)用．