Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．

（1）將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△A′B′C．①求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)；②求線段BB′的長(zhǎng)；

（2）如圖2，過點(diǎn)C作AC的垂線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A′CD′．在圖2中畫出線段AD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)所形成的圖形（用陰影表示），并求出該圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）π；；（2）．

【解析】

試題分析：（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BCB′=120°，然后由扇形的弧長(zhǎng)公式即可求得點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)；②由特殊銳角三角函數(shù)值可求得BB′的長(zhǎng)；

（2）首先畫出圖形，然后根據(jù)S1=S2，可求得S1+S4的面積，然后再利用扇形面積-等邊三角形ECD′的面積，從而可求得答案．

試題解析：（1）①∵AC=2，∠B=90°，∠A=30°，

∴BC=1．

∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的路徑=×2π×12=π；

②如下圖所示：

在△BCB′中，CB=CB′，∠BCB′=120°，AC⊥BB′

∴sin∠CBE=．

∴BE=．

∴BB′=；

（2）如圖所示：

∵S1=S2，

∴S2+S4=S1+S4=π（AC2-BC2）=π(22-12)=π．

在Rt△ABD中，DC=ACtan30°=，

S3=×π×()2-××1=π-，

∴S2+S3+S4=π+π-=．