Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使得AE=CF，連接EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接DM，BN．

（1）求證：△AEM≌△CFN；

（2）求證：BD與MN互相平分．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及補(bǔ)角的性質(zhì)得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，從而利用ASA可作出證明；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及(1)的結(jié)論可得BM 平行且等于DN，則由有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形BMDN是平行四邊形，再由平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAB＝∠BCD，所以∠EAM＝∠FCN．

∵AD∥BC，所以∠E＝∠F．

又∵AE＝CF，

∴△AEM≌△CFN．

（2）由（1）得△AEM≌△CFN，

∴AM＝CN．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

∴BM∥DN，AB-AM＝CD-CN，即BM＝DN．

∴四邊形BMDN是平行四邊形．

∴BD與MN互相平分．