Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，的邊在軸的正半軸上，點在第二象限，且，，，拋物線經過點，并與軸交于點，點在拋物線的對稱軸上．

（圖1） （備用圖）

（備用圖）

（1）求、的值，及拋物線的對稱軸．

（2）求證：以點為圓心，半徑為的圓與邊相切．

（3）若滿足條件與的點恰好在拋物線上，請求出此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=1,c=5,x=2；（2）見詳解；（3）P（2，－2＋2）、P（2，－2－2）、P（2，4）、P（2，－8）.

【解析】

（1）根據已知的∠AOB＝135°，可知點B的橫縱坐標互為相反數，再根據OB的長度，即可求得點B的坐標；

（2）作MK⊥AB于點K ，作BG⊥OA于G，利用△MKA與△AGB相似，可求得圓心到直線AB的距離，從而是否判斷相切；

（3）由題意可知∠POD＝45°，OD＝OP，因此通過構造直角三角形可以求得.

：（1）由題意得c＝5，點B（2，－2），

把點B（2，－2）代入中，得b＝1，

對稱軸.

（2）如圖，作MK⊥AB于K，作BG⊥OA于G，

∵△MKA∽△AGB，

∴，

∴，

MK＝2，

∵r＝2，

∴d＝r＝2，

∴⊙M與相切.

（3）∵∠AOB＋∠POD＝180°，∠AOB＝135°，

∴∠POD＝45°

∵OB：OD＝OA：OP，

∴OD：OP＝OB：OA＝，

①當點P在如圖所示位置時，

過點P作DP⊥OP于點P，則PD＝OP，再作DH⊥AP于點H ，則△DHP≌△PAO，

∴DH＝AP，HP＝OA

設P（2，m），則D（2－m，m＋2），

∵D在y＝x2＋x＋5上，

∴ m＋2＝（2﹣m）2＋2﹣m＋5，

解得m＝﹣2＋2，或﹣2＋2（舍去）

此時P（2，﹣2＋2）或（2，﹣2﹣2），

②當點P在如圖所示位置時，

與①同理，△OAP≌△PHD，則HD＝AP，HP＝OA，

設P（2，m），則D（2＋m，m﹣2），

∵D在y＝x2＋x＋5上，

∴m﹣2＝（2＋m）2＋2＋m＋5，

解得m＝﹣8或4．

此時P（2，﹣8）或（2，4），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（2，﹣2＋2）或（2，﹣2﹣2）或（2，﹣8）或（2，4）．