Question

我們把“有兩條邊和其中一邊的對(duì)角線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”叫做“同族三角形”，如圖1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，則△ABC和△ABD是“同族三角形”．

（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，求證：△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，AB=6，∠BAC=30°，求AC的長(zhǎng)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)D在⊙O上，△ADC與△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求的值．

Answer 1

【考點(diǎn)】圓的綜合題．

【分析】（1）由點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，根據(jù)弧與弦的關(guān)系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共邊AC，可證得：△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）首先連接OA，OB，作點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，易得△AOB是等腰直角三角形，繼而求得答案；

（3）分別從當(dāng)CD=CB時(shí)與當(dāng)CD=AB時(shí)去分析求解即可求得答案．

【解答】（1）證明：∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，即=，

∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，

∵AC=AC，

∴△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）解：如圖1，連接OA，OB，作點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，

∵OA=OB=3，AB=6，

∴OA²+OB²=AB²，

∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，

∴∠C=∠AOB=45°，

∵∠BAC=30°，

∴BE=AB=3，

∴AE==3，

∵CE=BE=3，

∴AC=AE+CE=3+3；

（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，

如圖2，當(dāng)CD=CB時(shí)，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=75°，

∴AD=AC=3+3，CD=BC=BE=3，

∴==；

如圖3，當(dāng)CD=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，

則∠DAC=∠ACB=45°，

∴∠ACD=180°﹣∠DAC﹣∠ADC=60°，

∴DF=CD•sin60°=6×=3，

∴AD=DF=3，

∴==．

綜上所述： =或．

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題．考查了圓周角定理、弧與弦的關(guān)系、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．