【題目】如圖拋物y=﹣與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.C,D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),連接BD交y軸于點(diǎn)E,拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)F.
(1)點(diǎn)P為線段BD上方拋物線上的一點(diǎn),連接PD,PE.點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)N.當(dāng)△PDE面積最大時(shí),求PM+MN+NF的最小值;
(2)如圖2,在(1)中PM+MN+NF取得最小值時(shí),將△PME繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△PM′E′,點(diǎn)G是MN的中點(diǎn),連接M′G交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)H作直線l∥PM,點(diǎn)R是直線l上一點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)S,使以點(diǎn)M′,點(diǎn)G,點(diǎn)R,點(diǎn)S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)S的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)PM+MN+NF的最小值=;(2)存在,點(diǎn)S的坐標(biāo)為:S1(,),S2(,).
【解析】
(1)待定系數(shù)法求直線BD解析式,再根據(jù)二次函數(shù)最大值方法求△PDE面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo),最后依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求PM+MN+NF的最小值;
(2)由旋轉(zhuǎn)求點(diǎn)M′坐標(biāo),待定系數(shù)法求直線PM解析式、直線M′G以及直線l的解析式,依據(jù)矩形性質(zhì)分類(lèi)討論求R坐標(biāo),再根據(jù)平移規(guī)律求相應(yīng)的S坐標(biāo).
(1)在拋物線y=﹣x2-中,令x=0,得:y=,令y=0,得:
x1=﹣3,x2=1
∴A(﹣3,0),B(1,0),C(0,),
∵y=﹣x2=,
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為:直線x=﹣1
∴D(﹣2,),
設(shè)直線BD解析式為y=kx+b,將B(1,0),D(﹣2,)代入得 ,
解得:
∴直線BD解析式為y=-x+
∴E(0,),
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G交BD于H,作PQ⊥BD于Q,連接CD,
設(shè)P(m,-m2- +),H(m,-m+)
PH=-m2- +
∵PG∥y軸
∴∠PHD=∠DEC,
∵C、D關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱(chēng),
∴∠DCE=∠PQE=90°
∴△DCE∽△HQP
∴,即:PQDE=DCPH,
∴S△PDE=PQDE=DCPH=×2(-m2- +)
=-,
∵-<0,
∴當(dāng)m=﹣時(shí),S△PDE的最大值=,此時(shí),P(﹣,),
過(guò)點(diǎn)F作∠NFS=60°,過(guò)N作∠FNS=30°,F(xiàn)S與NS交于點(diǎn)S,如圖,
∴∠FSN=90°,
∴NS=NFcos∠FNS=NFcos30°=NF,過(guò)M作MK∥NS,且MK=NS,
當(dāng)P、M、K三點(diǎn)共線時(shí),PM+MK最小,
∴∠PMC=∠KME=∠FNS=30°
∴PM=2PL=1,LM=,MK=NS=NF=(﹣)=,MN=1
∴PM+MN+NF的最小值=1+1+=.
(2)如圖:
由(1)知:P(﹣,),M(0,),可求得直線PM解析式為:y=-x+,
∵∠PML=30°,∠PLM=90°,∴∠LPM=60°
∵∠MPM′=120°,PM′=PM=1
∴M′、P、L三點(diǎn)共線,∴M′(-,),
∵點(diǎn)G是MN的中點(diǎn),
∴G(-,),待定系數(shù)法可求得直線M′G的解析式為:y=-,令x=﹣1,得y=
∴H(﹣1,),∵直線l∥PM且過(guò)點(diǎn)H,
∴直線l的解析式為:y=-x,設(shè)R(t,-t),∵以點(diǎn)M′,點(diǎn)G,點(diǎn)R,點(diǎn)S為頂點(diǎn)的四邊形是矩形
∴可以分兩種情形:M′G為邊或M′G為對(duì)角線
①M′G為邊,∠RM′G=90°時(shí)
∴M′R2+M′H2=RH2,即:(t+ =(t+1)2+(-t-)2
解得:t=-,
∴R(﹣, ),由平移可得S1(-,),
②M′G為邊,∠M′GR=90°時(shí)
∴GR2+HG2=HR2,即:(t+=(t+1)2+(-t-)2,
解得:t=-,
∴R(-,),由平移可得S2(-,),
③M′G為對(duì)角線,∠M′RG=90°
∴M′R2+RG2=M′G2,即:(t+)2+(--)2+(t+)2+(- =(- ,無(wú)解;
綜上所述,點(diǎn)S的坐標(biāo)為:S1(-),S2(-).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】使得函數(shù)值為0的自變量的值稱(chēng)為函數(shù)的零點(diǎn).例如,對(duì)于函數(shù)y=x﹣1,令y=0可得x=1,我們說(shuō)1是函數(shù)y=x﹣1的零點(diǎn).已知函數(shù)y=x2﹣2mx﹣2(m+3)(m為常數(shù))
(1)當(dāng)m=0時(shí),求該函數(shù)的零點(diǎn).
(2)證明:無(wú)論m取何值,該函數(shù)總有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為點(diǎn)E,CF⊥AF,且CF=CE.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若sin∠BAC=,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,以AB為直徑,點(diǎn)O為圓心的半圓上有一點(diǎn)C,且∠ABC=60°,點(diǎn)D為AO上一點(diǎn).將△DBC沿直線DC對(duì)折得到△DB'C,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′,且B'C與半圓相切于點(diǎn)C,連接B′O交半圓于點(diǎn)E.
(1)求證:B'D⊥AB;
(2)當(dāng)AB=2時(shí),求圖中陰影部分面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了進(jìn)一步了解八年級(jí)學(xué)生的身體素質(zhì)情況,體育老師以八年級(jí)(1)班50位學(xué)生為樣本進(jìn)行了一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試.根據(jù)測(cè)試結(jié)果,繪制出部分頻數(shù)分布表和部分頻數(shù)分布直方圖.
組別 | 次數(shù)x | 頻數(shù)(人數(shù)) |
第1組 | 80≤x<100 | 6 |
第2組 | 100≤x<120 | 8 |
第3組 | 120≤x<140 | a |
第4組 | 140≤x<160 | 18 |
第5組 | 160≤x<180 | 6 |
請(qǐng)結(jié)合圖表完成下列問(wèn)題:
(1)表中的a= ;
(2)請(qǐng)把頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在第 組;
(4)已知該校八年級(jí)共有學(xué)生800,請(qǐng)你估計(jì)一分鐘跳繩次數(shù)不低于120次的八年級(jí)學(xué)生大約多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=,E為CD邊上一點(diǎn),將△BCE沿BE折疊,使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置,連接AF,若tan∠BAF=,則CE=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了創(chuàng)建“最美校園圖書(shū)屋”新購(gòu)買(mǎi)了一批圖書(shū),其中科普類(lèi)圖書(shū)平均每本的價(jià)格是文學(xué)類(lèi)圖書(shū)平均每本書(shū)價(jià)格的1.2倍,已知學(xué)校用12000元購(gòu)買(mǎi)文學(xué)類(lèi)圖書(shū)的本數(shù)比用這些錢(qián)購(gòu)買(mǎi)科普類(lèi)圖書(shū)的本數(shù)多100本,那么學(xué)校購(gòu)買(mǎi)文學(xué)類(lèi)圖書(shū)平均每本書(shū)的價(jià)格是( )
A.20元B.18元C.15元D.10元
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,學(xué)校舉行科技小制作比賽.對(duì)公開(kāi)征集到的科技小制作作品的數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì),并制作了如下統(tǒng)計(jì)圖.
(1)學(xué)校共征集到作品共 件;
(2)經(jīng)過(guò)評(píng)選后,有2名男生和2名女生獲得一等獎(jiǎng).現(xiàn)要從這4位同學(xué)中抽兩人去參加表彰座談會(huì),請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好抽中一男一女的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞AC的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′,其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為,則圖中陰影部分的面積為( 。
A.π﹣B.2C.D.
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