Question

如圖，⊙O的半徑為1，弦AB、CD互相垂直，垂足為E，求AE²+BE²+CE²+DE²的值．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF，由圓周角定理可知∠DCF=∠DAF=90°，即CF⊥CD，根據(jù)AB⊥CD可知CF∥AB，故

AF

=

BC

，即AF=BC，再在Rt△AFD中利用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答：解；連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF，BC，
∵DF是⊙O的直徑，
∴DF=2，∠DCF=∠DAF=90°，即CF⊥CD．
∵AB⊥CD，
∴CF∥AB，故

AF

=

BC

，即AF=BC，
在Rt△AED中，AE²+DE²=AD²，
在Rt△BCE中，CE²+BE²=BC²，即CE²+BE²=AF²．
在Rt△ADF中，
∵AF²+AD²=DF²，
∴AE²+DE²+CE²+BE²=DF²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．