Question

如圖，一副直角三角板△ABC和△DEF，已知BC=DF，∠F=30°，EF=2ED．
（1）直接寫出∠B，∠C，∠E的度數(shù)；
（2）將△ABC和△DEF放置像圖2的位置，點(diǎn)B、D、C、F在同一直線上，點(diǎn)A在DE上．
①△ABC固定不動(dòng)，將三角板EDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至EF∥CB（如圖2），試求DF旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；并通過(guò)計(jì)算判斷點(diǎn)A是否在EF上；
②在圖3的位置上，△DEF繞點(diǎn)D繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE與BC重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)三角形的邊是否存在平行關(guān)系？若存在直接寫出旋轉(zhuǎn)的角度和平行關(guān)系，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）①求出∠B=∠C=∠DAC=∠DAB=45°，AD=

1

2

BC，延長(zhǎng)DA交EF于H，則∠DHE=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出DH=

1

2

DF，推出DA=DH即可；②畫出圖形，根據(jù)平行線的判定得出即可．

解答：解：（1）如圖1，
∠B=∠C=45°，∠E=60°；




（2）①如圖2，
∵EF∥BC，
∴∠FDC=∠F=30°，
旋轉(zhuǎn)的角度為30°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB=45°，AD=

1

2

BC，
延長(zhǎng)DA交EF于H，則∠DHE=180°-（∠EDA+∠E）=90°，
∴DH⊥EF，
∵S_△DEF=

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2

ED•DF=

1

2

EF•DH，
∴DH=

1

2

DF，
∵BC=DF，
∴DA=DH，A與H重合，
∴點(diǎn)A在EF上．

②△DEF繞點(diǎn)D繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE與BC重合，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)三角形的邊存在平行關(guān)系，
當(dāng)∠FDC=45°時(shí)，DE∥AC，AB∥DF，如圖3，

當(dāng)∠FDC=75°時(shí)，EF∥AB，如圖4，
∠EDB=180°-∠EDF-∠FDC=180°-90°-75°=15°，
∵∠B=45°，
∴∠AMD=15°+45°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠E=∠AMD，
∴EF∥AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較好，難度偏大．