Question

已知正方形ABCD，P為直線BC上一點，連接PA，過點P作PE⊥PA交∠DCM的平分線于點E，過點E作EH⊥BM，垂足為H，
（1）當(dāng)點P在線段BC上時，求證：PC+EH=AB；
（2）當(dāng)點P在BC的延長線上時，則PC、EH、AB之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（3）當(dāng)點P在CB的延長線上時，連接AC、AE，若S_{四邊形APEC}=

9

2

，CE=

2

，求AE的長．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由ABCD為正方形，得到AB=BC=BP+PC，且∠DCM為直角，根據(jù)CE為角平分線，得到∠ECM=45°，即三角形ECM為等腰直角三角形，可得出PC+CH=PC+EH，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABP與三角形PHE相似，由相似得比例，等量代換即可得證；
（2）AB=EH-PC，理由為：同（1）得到得到三角形ABP與三角形PHE相似，由相似得比例，等量代換即可得證；
（3）同（1）得到得到三角形ABP與三角形PHE相似，由相似得比例，等量代換得到AB=PH，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用ASA得到三角形PBA與三角形PHE全等，由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AB=PH，由PC=PH+HC，等量代換得到PC=AB+HE，由三角形ECH為等腰直角三角形，根據(jù)CE的長求出HE與CH的長，表示出四邊形APEC的面積，將已知面積代入求出PC的長，進而求出AB與AC的長，在直角三角形ACE中，利用勾股定理即可求出AE的長．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=BC=BP+PC，∠DCM=90°，
∵CE為∠DCM的平分線，
∴∠ECM=45°，
∴EH=CH，
∴PC+CH=PC+EH，
∵AB⊥BC，EH⊥BM，AP⊥PE，
∴∠B=∠H，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠APB+∠EPH，
∴∠BAP=∠EPH，
∴△ABP∽△PHE，
∴

AB

BP

=

PH

EH

，即

BP+PC

BP

=

PC+EH

EH

，
∴

1+PC

BP

=

1+PC

EH

，
∴BP=EH=CH，
∴AB=BC=BP+PC=PC+EH；
（2）如圖同（1）可證△ABP∽△EHP，
∴

BP

AB

=

EH

PH

，即

AB+PC

AB

=

EH

EH-PC

，
∴

1+PC

AB

=

EH

EH-PC

，
∴

PC

AB

=

EH

EH-PC

-1=

PC

EH-PC

，
∴AB=EH-PC；
故答案為：AB=EH-PC；
（3）如圖同（2）可證△ABP∽△PHE，
∴

PB

AB

=

EH

PH

，即

PC-AB

AB

=

EH

PC-EH

，
∴

PC

AB

-1=

EH

PC-EH

，
∴

PC

AB

=

EH

PC-EH

+1=

PC

PC-EH

，
∴AB=PC-EH=PC-CH=PH，
∵∠APB+∠HPE=90°，∠BAP+∠APB=90°，
∴∠HPE=∠BAP，
在△ABP和△PHE中，

∠BAP=∠HPE AB=PH ∠ABC=∠PHE=90°

，
∴△ABP≌△PHE（ASA），
∴AB=PH，
∴PC=PH+HC=AB+EH，
由題意得：△CHE為等腰直角三角形，
∴EH=HC=

2

2

CE=1，
∵S_APEC=S_△APC+S_△EPC=

1

2

PC•AB+

1

2

PC•EH=

1

2

PC（AB+EH）=

1

2

PC²=

9

2

，
解得：PC=3，
∴AB=PC-EH=3-1=2，
∴AC=

2

AB=2

2

，
則AE=

AC2+CE2

=

8+2

=

10

．

點評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．