Question

如圖，已知MN是⊙O的直徑，直線PQ與⊙O相切于P點(diǎn)，NP平分∠MNQ．
（1）求證：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半徑R=3，∠MNP=30°，求NQ的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OP，如圖，由NP平分∠MNQ得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，則∠2=∠3，于是可判斷OP∥NQ，再根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥PQ，所以NQ⊥PQ；
（2）連結(jié)MP，如圖，根據(jù)圓周角定理，由MN是⊙O的直徑，得到∠MPN=90°，在Rt△MPN中利用余弦的定義計算出PN=3

3

，然后在Rt△PNQ中，再次根據(jù)余弦的定義可計算出NQ．

解答：（1）證明：連結(jié)OP，如圖，
∵NP平分∠MNQ，
∴∠1=∠3，
∵OP=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OP∥NQ，
∵直線PQ與⊙O相切于P點(diǎn)，
∴OP⊥PQ，
∴NQ⊥PQ；
（2）解：連結(jié)MP，如圖，
∵M(jìn)N是⊙O的直徑，
∴∠MPN=90°，
在Rt△MPN中，∵cos∠MNP=

PN

MN

，
∴PN=6cos30°=6×

3

2

=3

3

，
∵∠3=∠1=30°，
在Rt△PNQ中，∠3=∠1=30°，
∵cos∠3=

NQ

PN

，
∴NQ=3

3

cos30°=3

3

×

3

2

=

9

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．