【題目】如圖1,在矩形中,BC=3,動點出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿射線方向移動,作關于直線的對稱,設點的運動時間為

1)若

①如圖2,當點B’落在AC上時,顯然PCB’是直角三角形,求此時t的值

②是否存在異于圖2的時刻,使得PCB’是直角三角形?若存在,請直接寫出所有符合題意的t的值?若不存在,請說明理由

2)當P點不與C點重合時,若直線PB’與直線CD相交于點M,且當t3時存在某一時刻有結論∠PAM=45°成立,試探究:對于t3的任意時刻,結論∠PAM=45°是否總是成立?請說明理由.

【答案】1)①;②t=2t=6t=22)見解析.

【解析】

(1)①先利用勾股定理求出AC長,再根據(jù)△APB≌△APB′,繼而根據(jù)全等三角形的性質推導得出∠B=∠PB′C=90°,BC= ,再證明,根據(jù)相似三角形的性質求出PB=2-4,由此即可求得答案;

根據(jù)題意分三種情況,分別畫出圖形,結合圖形分別討論求解即可;

(2)如圖,根據(jù)∠PAM=45°以及翻折的性質可以證明得到△DAM≌△B′AM,從而可得AD=AB′=AB,證得四邊形ABCD是正方形,繼而根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)翻折的性質以及全等三角形的知識進行推導即可求得答案.

(1)①∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=90°,

AC=

∵△APB≌△APB′,

∴∠AB′P=∠B=90°,AB′=AB=2,BP=BP,

∠B=∠PB′C=90°BC=AC-AB′=,

又∵∠PCB′=∠ACB,

,

,

PB=2-4,

PB=2-4

t=2-4;

如圖,當∠PCB′=90 °時,此時點B′落在BC上,

RtAB′D中,∠D=90°∴B′D=,

∴B′C=,

△PCB′中,由勾股定理得:,

解得t=2;

如圖,當∠PCB=90 °時,此時點B′CD的延長線上,

RtAB′D中,∠ADB′=90°,∴B′D=

∴B′C=3,

△PCB′中,由勾股定理得:,解得t=6;

∠CPB′=90 °時,易得四邊形ABPB′為正方形,

∴BP=AB=2

解得t=2;

綜上,t=2t=6t=2

(2)如圖

∵∠PAM=45°,

∴∠2+∠3=45°,∠1+∠4=45°,

翻折,

∴∠1=∠2,∠3=∠4,

∵∠ADM=∠AB′M=90°AM=AM,

∴△DAM≌△B′AM,

∴AD=AB′=AB,

∴四邊形ABCD是正方形,

如圖,

∠APB=x

∴∠PAB=90°-x,

∴∠DAP=x,

AD=AB′,AM=AM,∠ADM=AB′M=90°,

Rt△MDA≌Rt△B′AM(HL),

∴∠B′AM=∠DAM,

翻折,

∴∠PAB=∠PAB′=90°-x,

∴∠DAB′=∠PAB′-∠DAP=90°-2x,

∴∠DAM=∠DAB′=45°-x,

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°.

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解:設

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(第二步)

(第三步)

(第四步)

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