【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AB⊥AC,AB=3,BC=5,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動.連結(jié)PO并延長交BC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒.
(1)求BQ的長,(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時,求t的值
(3)當(dāng)點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上時,直接寫出t的值.
【答案】(1)BQ=5﹣t;(2)秒;(3)t=.
【解析】
(1)利用平行四邊形的性質(zhì)可證△APO≌△CQO,則AP=CQ,再利用即可得出答案;
(2)由平行四邊形性質(zhì)可知AP∥BQ,當(dāng)AP=BQ時,四邊形ABQP是平行四邊形,建立一個關(guān)于t的方程,解方程即可求出t的值;
(3)在Rt△ABC中,由勾股定理求出AC的長度,進(jìn)而求出AO的長度,然后利用的面積求出EF的長度,進(jìn)而求出OE的長度,而AE可以用含t的代數(shù)式表示出來,最后在中利用勾股定理即可求值.
解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,AD∥BC,
∴∠PAO=∠QCO,
∵∠AOP=∠COQ,
∴△APO≌△CQO(ASA),
∴AP=CQ=t,
∵BC=5,
∴BQ=BC-CQ=5﹣t;
(2)∵AP∥BQ,
當(dāng)AP=BQ時,四邊形ABQP是平行四邊形,
即t=5﹣t,
t= ,
∴當(dāng)t為秒時,四邊形ABQP是平行四邊形;
(3)t= ,
如圖,
在Rt△ABC中,
∵AB=3,BC=5,
∴AC=
∴AO=CO=AC=2,
∴3×4=5×EF,
∴,
∴,
∵OE是AP的垂直平分線,
∴AE=AP=t,∠AEO=90°,
由勾股定理得:AE2+OE2=AO2,
或(舍去)
∴當(dāng)秒時,點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某市開展的環(huán)境創(chuàng)優(yōu)活動中,某居民小區(qū)要在一塊靠墻(墻長米)的空地上修建一個矩形花園,花園的一邊靠墻,另三邊用總長為的柵欄圍成,若設(shè)花園平行于墻的一邊長為,花園的面積為.
求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
滿足條件的花園面積能達(dá)到嗎?若能,求出此時的值,若不能,說明理由;
根據(jù)中求得的函數(shù)關(guān)系式,判斷當(dāng)取何值時,花園的面積最大,最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中, AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)E. 若∠BDA=90°,E是AD中點(diǎn),DE=2,AB=5,則AC的長為( )
A.1B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等腰三角形△ABC,BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半,則∠BAC的度數(shù)是( 。
A.75°B.90°或75°C.90°或 75°或15°D.75°或15°或60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),以A為圓心,AB為半徑的弧與BE交于點(diǎn)F,則∠EFD=_____°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子,解答問題.
材料一:在解決某些分式問題時,倒數(shù)法是常用的變形技巧之一,所謂倒數(shù)法,即把式子變成其倒數(shù)形式,從而運(yùn)用約分化簡,以達(dá)到計(jì)算目的.
例:已知:,求代數(shù)式x2+的值.
解:∵,∴=4
即=4∴x+=4∴x2+=(x+)2﹣2=16﹣2=14
材料二:在解決某些連等式問題時,通?梢砸?yún)?shù)“k”,將連等式變成幾個值為k的等式,這樣就可以通過適當(dāng)變形解決問題.
例:若2x=3y=4z,且xyz≠0,求的值.
解:令2x=3y=4z=k(k≠0)
則
根據(jù)材料回答問題:
(1)已知,求x+的值.
(2)已知,(abc≠0),求的值.
(3)若,x≠0,y≠0,z≠0,且abc=7,求xyz的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD,BE.以下四個結(jié)論:
①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n)與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③對于任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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