(本題10分) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),與x軸的正半軸交于另一點(diǎn)A,且OA :OC=2 :7.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)D為線段CB上,點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)拋物線上,PD=PB,當(dāng)tan∠PDB=2,求P點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)Q(7,m)在第四象限內(nèi),點(diǎn)R在對(duì)稱軸的右側(cè)拋物線上,若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)Q、R的坐標(biāo).

(1) y=-x2+x-7 ;(2)P(8,-3);

(3)R(10,-12),Q(7,-11)或R(6,2),Q(7,-7)

【解析】

試題分析:(1)有直線解析式可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo),再利用OA :OC=2 :7.求出A的坐標(biāo).最后把A、C代入拋物線解析式求出即可.

(2)先求出B的坐標(biāo)可得∠OCB=∠OBC=45°,又過(guò)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,所以∠CFG=∠OCB==45°就得到線段EF、BF、EP的數(shù)量關(guān)系;又tan∠PDB=2可以得到線段EP、DE、PD的 數(shù)量關(guān)系,然后設(shè)出P、F的坐標(biāo)利用他們的縱坐標(biāo)相等即可求出點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)若以點(diǎn)P、D、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形有兩種情況:線段PD有可能是邊也有可能是對(duì)角線.

當(dāng)PD是邊時(shí) ,即DP∥QR時(shí), ∵B(7,0),Q(7,n) ∴BQ∥y軸

過(guò)P作PN∥BQ,過(guò)D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N,過(guò)R作RM⊥BQ于點(diǎn)M. 設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T,DN交BM于點(diǎn)I

即可證明△RMQ≌△DNP,再求出D點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,∵RM=DN,∴t-7=8-5解得t=10,再把t=10帶入拋物線即可求出R、Q;當(dāng)PD是對(duì)角線時(shí) ,同理求出.

試題解析:(1)∵直線y=kx-7與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C ∴C(0,-7) ∴OC=7

∵拋物線y=ax2+bx+14a經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,∴14a=-7,∴a =- ∴y=-x2+bx-7

∵OA :OC=2 :7. ∴OA=2,∴A(2,0) ∵拋物線y=-x2+bx-7經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

∴b= ∴拋物線的解析式為y=-x2+x-7

(2)如圖1,∵拋物線y=-x2+x-7經(jīng)過(guò)B點(diǎn), 令y=0解得x=7或x=2(舍) ∴B(7,0)

∴ OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°

過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)G,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

則PF∥y軸,∴∠CFG=∠OCB==45°

∴BF=GF

過(guò)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,

∵PD=PB

∴∠PBD=∠PDB

∴tan∠PBD=tan∠PDB=2

∴PE=2BE

∵EF=PE ∴BF=BE

∴PF=PE=2BE=2BF=4GF,

∴PG=3GF

∵直線y=kx-7過(guò)B點(diǎn) ∴ k=1 ∴y=x-7

設(shè)F(),則P(

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y=-x2+x-7上,

所以,

解得m=7(舍)或m=8

∴P(8,-3)

如圖2,當(dāng)DP∥QR時(shí),即四邊形DQRP是平行四邊形 ∵B(7,0),Q(7,n) ∴BQ∥y軸

過(guò)P作PN∥BQ,過(guò)D作DN⊥BQ交PN于點(diǎn)N,

過(guò)R作RM⊥BQ于點(diǎn)M.

設(shè)PD交BQ于點(diǎn)T,DN交BM于點(diǎn)I

∴∠DTB=∠DPN,∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ

∴∠DPN=∠RQM

∵四邊形DPRQ是平行四邊形

∴DP=RQ

∵∠RMQ=∠DNP,∴△RMQ≌△DNP

∴RM=DN,MQ=PN

由(2)可求F(8,1),GF=1,BD=2BE=BF=

∵∠QBC=45°,∴BI=DI=2 ∴D(5,-2)

設(shè)R點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t,∵RM=DN,∴t-7=8-5

解得t=10

∵點(diǎn)R在拋物線y=-x2+x-7 上,

∴當(dāng)t=10時(shí) ,

∴R(10,-12)

∵M(jìn)Q=PN

∴3-2=-12-n,∴n=-11

∴R(10,-12),Q(7,-11)

如圖3,當(dāng)DR∥QP時(shí),即四邊形DQPR是平行四邊形

同理可求得R(6,2),Q(7,-7)

考點(diǎn):求函數(shù)解析式,平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用,函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.

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(2)在圖2中以AB為邊作四邊形ABEF (點(diǎn)E、F在小正方形的頂點(diǎn)上),使得四邊形ABEF中心對(duì)稱圖形

但不是軸對(duì)稱圖形,且tan∠FAB=3

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