Question

（本題滿分11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B．

（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；

（3）∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，交⊙M于點(diǎn)E，求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長(zhǎng)．

 

Answer 1

（1）⊙M的半徑為5；圓心M的坐標(biāo)為（4，3）；（2）直線l的解析式為y=x+6；（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；OE=7．

【解析】

試題分析：（1）∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，

∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，（1分）

∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標(biāo)為（4，3）；（3分）

（2）點(diǎn)B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖，

∵BC與⊙M相切，AB為直徑，∴AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，

而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，

∴Rt△ABO∽R(shí)t△BCO，

∴=，即=，解得OC=，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（0，6）、C點(diǎn)（﹣，0）分別代入，

解得，

∴直線l的解析式為y=x+6；（6分）

（3）作ND⊥x軸，連結(jié)AE，如圖，

∵∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N，∴△NOD為等腰直角三角形，

∴ND=OD，∴ND∥OB，

∴△ADN∽△AOB，

∴ND：OB=AD：AO，

∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，

∴OD=，ON=ND=，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（8分）

∵△ADN∽△AOB，

∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，

∴BN=10﹣=，

∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，

∴△BON∽△EAN，

∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，

∴OE=ON+NE=+=7．（11分）

考點(diǎn): 圓的綜合運(yùn)用