Question

已知A、B、C是半徑為2的半圓O上的三個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A是

BC

的中點(diǎn)（如圖），連接AB、AC，點(diǎn)D、E分別在弦AB、AC上，且滿足AD=DE，連接OD、OE．

（1）求證：OD=OE；
（2）連接BC，當(dāng)BC=2

2

時(shí)，求∠DOE的度數(shù)；
（3）若∠BAC=120°，當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADOE的面積是否會變化？若變化，請簡述理由；若不變化，請求出四邊形ADOE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先證出△AOB≌△AOC，∠CAO=∠ABO，再根據(jù)BD=AE，證出△BOD≌△AOE，即可得出OD=OE；
（2）設(shè)OA和BC交于M，得出∠AOB=∠AOC，∠BOD=∠AOE，∠AOD=∠COE，則∠DOE=

1

2

∠BOC，∠AOC=

1

2

∠BOC，再根據(jù)AB=AC，得出OA⊥BC，CM=

1

2

BC=

2

，最后根據(jù)sin∠COM=

CM

OC

=

2

2

，得出∠COM=45°，∠BOC=90°，∠DOE=

1

2

∠BOC=45°；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADOE的面積不會變化，先證出S_△AOB=S_△AOC，S_△BOD=S_△AOE，S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，S_△AOD=S_△COE，得出S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，S_{四邊形ADOE}=

1

2

S_{四邊形ABOC}，即可證出當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADOE的面積沒有變化，再根據(jù)∠ABC=120°，得出∠OAB=∠OAC=60°，ABOC是菱形，再求出AM=1，BC=2

3

，得出S_菱形ABOC=2

3

，最后根據(jù)S_{四邊形ADOE}=

1

2

S_{四邊形ABOC}即可得出答案．

解答：解：（1）∵A是弧BC的中點(diǎn)，
∴AB=AC，
連接OB、OA、OC，（如圖1）
∵在△AOB和△AOC中，

OB=OA AB=AC OA=OC

，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠CAO=∠ABO，
∵AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE，
即BD=AE，
∵在△BOD和△AOE中，

OB=OA ∠CAO=∠ABO BD=AE

，
∴△BOD≌△AOE（SAS），
∴OD=OE；
（2）設(shè)OA和BC交于M，（如圖2）
∵△AOB≌△AOC，
∴∠AOB=∠AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴∠BOD=∠AOE，
∴∠AOD=∠COE，
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=

1

2

∠BOC，
∠AOC=∠AOE+∠COE=

1

2

∠BOC，
∵AB=AC，
∴OA⊥BC，CM=

1

2

BC=

2

，
∴sin∠COM=

CM

OC

=

2

2

，
∴∠COM=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠DOE=

1

2

∠BOC=45°；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADOE的面積不會變化，
理由如下：
∵△AOB≌△AOC，
∴S_△AOB=S_△AOC，
∵△BOD≌△AOE，
∴S_△BOD=S_△AOE，
∴S_△AOB-S_△BOD=S_△AOC-S_△AOE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△COE，
∴S_{四邊形ADOE}=

1

2

S_{四邊形ABOC}，
∴當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADOE的面積沒有變化，
∵∠BAC=120°，
∴∠OAB=∠OAC=60°，
∴ABOC是菱形，
∴AM=

1

2

AO=1
CM=

AC2-AM2

=

3

，
∴BC=2

3

，
∴S_菱形ABOC=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∴S_{四邊形ADOE}=

1

2

S_{四邊形ABOC}=

3

．

點(diǎn)評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點(diǎn)是垂徑定理、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，關(guān)鍵是綜合應(yīng)用有關(guān)知識，列出算式．