Question

如圖，直線y=-x+2

3

+2與x軸、y軸分別交于A，B兩點，P點在AB上，∠POA=30°，將OP繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點P旋轉(zhuǎn)到點P₁，若雙曲線y=

k

x

過點P₁，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：分別過P、P₁作x、y軸垂線，垂足分別為C、D點．設(shè)P₁點坐標為（m，

k

m

），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到P點坐標為：（

k

m

，-m），根據(jù)三角函數(shù)得到tan30°=-

m

k m

=

3

3

①，根據(jù)直線解析式得到m=-

k

m

+2

3

+2②，兩者聯(lián)立解方程組求得k的值．

解答：解：分別過P、P₁作x、y軸垂線，垂足分別為C、D點，
設(shè)P₁點坐標為（m，

k

m

），
∵OP⊥OP₁，OP=OP₁，
∴∠P₁OD=∠POC=30°，
∴OC=

k

m

，PC=-m，
∴P點坐標為：（

k

m

，-m），
由tan30°=-

m

k m

=

3

3

①，
∴k=-

3

m²，
又∵P點在直線AB上，
∴-將k=-

3

m²代入②化簡得：m=-2，
∴k=-4

3

．
故k的值是-4

3

．

點評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，一次函數(shù)，利用了數(shù)形結(jié)合及方程思想．