Question

如圖1：點M、N在直線AB的同側(cè)，在直線上找一點P使MP+NP最短？
解：做點M關(guān)于直線AB的對稱點M′．連接M′N，線段M′N與直線AB的交點即為點P的位置，即MP+NP最短．
（1）應用1：如圖2，M、N是△ABC中AB、AC邊上的兩點，請在BC邊上確定一點P使得△PMN的周長最��？（不寫作法只保留作圖痕跡）
（2）應用2：設x、y為正實數(shù)，且x+y=8，求：

x2+2

+

y2+4

的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）作出點M關(guān)于BC的對稱點M′，連接M′N，與BC的交點即為所求點P；
（2）作線段x+y=AB=8，作AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，作C關(guān)于AB的對稱點C′，連結(jié)DC′交AB于點P，再作C′E∥AB與DB的延長線相交于點E，然后根據(jù)勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：（1）應用1：使得△PMN的周長最小的點P如圖所示；


（2）應用2：如圖作線段x+y=AB=8，作AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，
作C關(guān)于AB的對稱點C′，連結(jié)DC′交AB于點P，

連結(jié)PC、PD，易得DC′=PC+PD，且最短，
如圖，由勾股定理得，DC′=

(2+4)2+82

=10，
即

x2+2

+

y2+4

的最小值為10．

點評：本題考查了利用軸對稱確定最短路線問題，讀懂題目信息理解點P的位置的確定方法是解題的關(guān)鍵，（2）把數(shù)字問題轉(zhuǎn)化為利用線段和軸對稱確定最短路線問題求解是解題的關(guān)鍵．