Question

【題目】如圖，菱形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)E，△ABD的外接圓⊙O交AC于點(diǎn)F．若FB=FC．

（1）證明：=FEFA；

（2）證明：BC是⊙O的切線；

（3）若EF=2，求出四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)和圓周角定理的推論得出△BEF∽△ABF，則有，即，又因?yàn)?/span>FB=FC，則結(jié)論可證；

（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換得出∠ABO=∠FBC，又因?yàn)椤?/span>ABO+∠FBO=∠ABF=90°，則有∠CBF+∠FBO =90°，進(jìn)而可證明結(jié)論；

（3）首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠BAF=30°，∠BFA =60°，然后解直角三角形可求出AE,BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求AC,BD的長(zhǎng)度，最后利用菱形的面積公式即可求解．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC垂直平分BD，

∵AF為⊙O的直徑．

∴∠ABF=90°．

，

∴△BEF∽△ABF．

∴．

∴．

∵FB=FC，

∴=FEFA；

（2）證明：連接OB，

∵OB=OA，FB=FC，BA=BC，

∴∠OBA=∠BAC，∠FBC=∠FCB，∠BAC=∠BCA．

∴∠ABO=∠FBC．

∵∠ABO+∠FBO=∠ABF=90°．

∴∠CBF+∠FBO =90°．

∴OB⊥BC．

∴BC是⊙O的切線；

（3）解：由（2）得∠BAC=∠BCA=∠FBC．

∴∠BFA=∠FBC+∠FCB=2∠FCB=2∠BAC．

∵∠BAF+∠BFA=180°-∠ABF=90°．

∴3∠BAF=90°．

∴∠BAF=30°．

∴∠BFA=2∠BAF=60°．

在Rt△BFE中，BE=EFtan∠BFE=2=．

在Rt△BAE中，AE=．

∴AC=2AE=12，BD=2BE=．

∴四邊形ABCD的面積S=．