【題目】如圖,AC為矩形ABCD的對(duì)角線,將邊AB沿AE折疊,使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處,將邊CD沿CF折疊,使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處.

(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形;

(2)當(dāng)ABAC滿足怎樣數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形AECF為菱形.

【答案】1)見解析;(2,證明見解析

【解析】

1)首先根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì),通過角邊角證明△ABE≌△CDF,則DF=BE,然后可得到AF=EC,依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等四邊形是平行四邊形即可證明AECF是平行四邊形;

2)若四邊形AECF為菱形,則AE=CE,在Rt△ABC中利用折疊的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAE=∠ACB=30°,根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半可得.

1)∵四邊形ABCD為矩形,

AB=CD,ADBC,∠B=D=90°,∠BAC=DCA

由翻折的性質(zhì)可知:∠EAB=BAC,∠DCF=DCA,

∴∠EAB=DCF

在△ABE和△CDF

∴△ABE≌△CDFASA),

DF=BE,

AF=EC,

又∵AFEC,

∴四邊形AECF是平行四邊形;

2時(shí),四邊形AECF為菱形,

若四邊形AECF為菱形,

AE=CE,

∴∠CAE=ACB,

∵∠BAE=CAE,

∴∠BAE=CAE=ACB=30°,

,

∴當(dāng)時(shí),四邊形AECF為菱形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀以下材料:對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(JNapier,1550-1617年),納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前,直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Euler1707-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)的定義:一般地,若,則叫做以為底的對(duì)數(shù),記作.比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為,對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為.我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì):.理由如下:設(shè),所以,,所以,由對(duì)數(shù)的定義得,又因?yàn)?/span>,所以.解決以下問題:

1)將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式:

2)仿照上面的材料,試證明:

3)拓展運(yùn)用:計(jì)算

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【題目】如圖,小葉與小高欲測(cè)量公園內(nèi)某棵樹DE的高度.他們?cè)谶@棵樹正前方的一座樓亭前的臺(tái)階上的點(diǎn)A處測(cè)得這棵樹頂端D的仰角為30°,朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處,測(cè)得這棵樹頂端D的仰角為60°.已知點(diǎn)A的高度AB3 m,臺(tái)階AC的坡度為1,且B,C,E三點(diǎn)在同一條直線上,那么這棵樹DE的高度為(  )

A. 6 m B. 7 m C. 8 m D. 9 m

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【題目】如圖,菱形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)E,△ABD的外接圓⊙OAC于點(diǎn)F.若FB=FC

1)證明:=FEFA

2)證明:BC是⊙O的切線;

3)若EF=2,求出四邊形ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知一元二次方程2x23x6=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a,b,直線經(jīng)過點(diǎn)A(a+b,0)和點(diǎn)B(0ab),則直線l的函數(shù)表達(dá)式為(  )

A.y=2x3B.y=2x+3C.y=2x+3D.y=2x3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】問題探究,

(1)如圖①,在矩形ABCD中,AB2ADPCD邊上的中點(diǎn),試比較∠APB和∠ADB的大小關(guān)系,并說明理由;

(2)如圖②,在正方形ABCD中,PCD上任意一點(diǎn),試問當(dāng)P點(diǎn)位于何處時(shí)∠APB最大?并說明理由;

問題解決

(3)某兒童游樂場(chǎng)的平面圖如圖③所示,場(chǎng)所工作人員想在OD邊上點(diǎn)P處安裝監(jiān)控裝置,用來監(jiān)控OC邊上的AB段,為了讓監(jiān)控效果最佳,必須要求∠APB最大,已知:∠DOC60°OA400米,AB200米,問在OD邊上是否存在一點(diǎn)P,使得∠APB最大,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)OP的長(zhǎng)和∠APB的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】如圖,直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線過點(diǎn)


1)求出拋物線解析式的一般式;

2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象下方,求面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);

3)若點(diǎn)軸上任意一點(diǎn),在(2)的結(jié)論下,求的最小值.

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【題目】定義:我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做神奇四邊形.順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形.

1)判斷:

①在平行四邊形、矩形、菱形中,一定是神奇四邊形的是 ;

②命題:如圖1,在四邊形中,則四邊形是神奇四邊形.此命題是_____(填“真”或“假”)命題;

③神奇四邊形的中點(diǎn)四邊形是

2)如圖2,分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形,連接

①求證:四邊形是神奇四邊形;

②若,求的長(zhǎng);

3)如圖3,四邊形是神奇四邊形,若分別是方程的兩根,求的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦,D為的中點(diǎn),DE⊥ACE,DE=6,AC=16

1)求證:DE⊙O的切線.

2)求直徑AB的長(zhǎng).

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