【題目】如圖,在等邊△ABC中,DE分別是BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)且BD=CE,連接ADBE相交于點(diǎn)F,連接CF,下列結(jié)論:①△ABD≌△BCE;②∠AFB=120°;③若BD=CD,則FA=FB=FC;④∠AFC=90°,則AF=3BF,其中正確的結(jié)論共有( )

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠C=ABC=60°,AB=BC,利用SAS可證明△ABD≌△BCE,可判定①正確;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAD=EBC,利用三角形外角性質(zhì)可得∠AFE=BAD+ABE=ABC=60°,根據(jù)平角的定義可得∠AFB=120°,可判定②正確;由BD=CD,BD=CE可得點(diǎn)D、EBC、AC的中點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD、BEBCAC的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可判定③正確;過點(diǎn)AAGBEG,利用SAS可證明△ABE≌△ADC,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等可得AG=CF,利用HL可證明△ABG≌△ACF,可得AF=BG,由∠AFE=60°可得∠FAG=30°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AF=2FG,可得AF=BG=2FG=2BF,即可判定④錯(cuò)誤.綜上即可得答案.

∵△ABC是等邊三角形,

AB=AC=BC,∠ABC=ACB=BAC=60°,

在△ABD和△ACE中,,

∴△ABD≌△BCE,故①正確,

∴∠BAD=CBE,

∴∠AFE=BAD+ABE=CBE+ABE=ABC=60°,

∴∠AFB=180°-AFE=120°,故②正確,

BD=CD,BD=CE

∴點(diǎn)D、EBC、AC的中點(diǎn),

∵△ABC是等邊三角形,

BEADBC、AC的垂直平分線,

FA=FB=FC,故③正確,

過點(diǎn)AAGBEG,

BD=CE,BC=AC,

CD=AE,

在△ABE和△ADC中,,

∴△ABE≌△ADC,

∵∠AFC=90°AGBE,

AGCFBEAD邊上的高,

AG=CF,

在△ABG和△ACF中,,

∴△ABG≌△ACF,

AF=BG,

AGBE,∠AFE=60°,

∴∠FAG=30°,

AF=2FG,

BG=2FG,

BF=FG,

AF=2BF,故④錯(cuò)誤,

綜上所述:正確的結(jié)論有①②③,共3個(gè),

故選C.

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