Question

如圖，E是正方形ABCD中邊CD上一點(diǎn)，且DE=

2

CE，連接BE，P、Q分別是BE、BC上的動(dòng)點(diǎn)，若AD=3

2

，則PC+PQ的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的邊長和DE=

2

CE求出CE，再利用勾股定理列式求出BE²，作點(diǎn)C關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)C′，根據(jù)垂線段最短，作C′Q⊥BC與BE的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，利用△BCE和△C′QC相似，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式表示出C′Q，利用三角形的面積用CC′表示出BE，然后整理求解即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AD=3

2

，
∵AD=3

2

，DE=

2

CE，
∴

2

CE+CE=3

2

，
解得CE=

3 2

2 +1

=6-3

2

，
在Rt△BCE中，BE²=BC²+CE²=（3

2

）²+（6-3

2

）²=36（2-

2

），
如圖，作點(diǎn)C關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作C′Q⊥BC與BE的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
∵∠C′+∠BCC′=90°，
∠CBE+∠BCC′=90°，
∴∠C′=∠CBE，
又∵∠BCD=∠CQC′=90°，
∴△BCE∽△C′QC，
∴

CC′

BE

=

C′Q

BC

，
∴C′Q=

3 2 CC′

BE

，
∵S_△BCE=

1

2

BE•

1

2

CC′=

1

2

BC•CE，
∴CC′=

2BC•CE

BE

=

2×3 2 ×(6-3 2 )

BE

，
∴C′Q=

3 2 ×2×3 2 ×(6-3 2 )

BE2

，
=

3×36(2- 2 )

36(2- 2 )

=3，
即PC+PQ的最小值是3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．