Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABDC的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸上，A（-6，0），C（0，8），拋物線y=ax²-10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C，且頂點(diǎn)M在直線BC上，則拋物線解析式為

 

；若點(diǎn)P在拋物線上且滿足S_△PBD=S_△PCD，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：根據(jù)對稱軸公式可得拋物線的對稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；分點(diǎn)P在CD的上面和點(diǎn)P在CD的下面兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵y=ax²-10ax+c，
∴對稱軸為直線x=-

-10a

2a

=5．
設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，
∴

0=4k+b 8=b

，
解得

k=-2 b=8

．
∴y=-2x+8．
∵點(diǎn)M在直線y=-2x+8上，
∴n=-2×5+8=-2．
又∵拋物線y=ax²-10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C和M，
∴

c=8 25a-50a+c=-2

，
解得

a= 2 5 c=8

．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=

2

5

x²-4x+8；
∵A（-6，0），C（0，8），
∴AC=10，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）；
由題意可P在拋物線y=

2

5

x²-4x+8上，且到BD，CD所在直線距離相等，
所以P在二次函數(shù)與BD、CD所在的直線的夾角平分線的交點(diǎn)上，
而BD、CD所在的直線的夾角平分線有兩條：一條是AD所在的直線，解析式為y=

1

2

x+3，
另外一條是過D且與BC平行的直線，解析式為：y=-2x+28，
聯(lián)立

y= 2 5 x2-4x+8 y= 1 2 x+3

，
解得：

x=10 y=15

（舍）或

x= 5 4 y= 29 8

，
聯(lián)立

y= 2 5 x2-4x+8 y=-2x+28

，
解得：

x=10 y=8

（舍）或

x=-5 y=38

所以當(dāng)△PBD與△PCD的面積相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（

5

4

，

29

8

），P₂（-5，38）．
故答案為：y=

2

5

x²-4x+8；P₁（

5

4

，

29

8

），P₂（-5，38）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，對稱軸公式，待定系數(shù)法的運(yùn)用，等底等高的三角形面積相等，分類思想的運(yùn)用．