Question

如圖：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，A（0，2）、B（-

3

2

，0）且梯形的面積為9．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將梯形ABCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到梯形A₁BC₁D₁，求對(duì)稱軸平行y軸，且經(jīng)過B、C₁、D₁三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）中所求拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使⊙P與直線A₁B和x軸同時(shí)相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作DE⊥BC于E，由條件可以得出△ABO≌△DCE，四邊形AOED是矩形，得出BO=EC，AD=OE，設(shè)AD=x，根據(jù)梯形的面積公式就可以求出AD的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及中心對(duì)稱先求出C1，D1，A1的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P分別在P₁、P₂的位置，連接P₁B并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F，作FG⊥AB于G，就有P₁F是∠ABO的角平分線，通過解直角三角形可以求出OF的值，再根據(jù)△BOF∽△BHP₁和△P₂HB∽△BOF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出HP₁、HP₂的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1））作DE⊥BC于E，
∴∠DEC=∠DEO=90°．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=90°．
∵∠AOE=90°，
∴四邊形AOED是矩形，
∴AD=OE，AO=DE，
在Rt△AOB和Rt△DEC中，

AB=DC AO=DE

，
∴Rt△AOB≌Rt△DEC，
∴BO=EC．
∵A（0，2）、B（-

3

2

，0），
∴OA=2，OB=

3

2

，
∴EC=

3

2

．
設(shè)AD=x，則OE=x，由梯形的面積公式得出：

2×(x+x+ 3 2 + 3 2 )

2

=9，
解得：x=3，
∴OE=3，OC=4.5，
∴C（4.5，0），D（3，2）
（2）由（1）得，C₁O=7.5，
∴C₁（-7.5，0），D₁（-6，-2），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+7.5）（x+1.5），由條件，得
-2=a（-6+7.5）（-6+1.5），
解得：a=

8

27

，
∴拋物線的解析式為：y=

8

27

（x+7.5）（x+1.5），
y=

8

27

x²+

8

3

x+

10

3

；
（3）設(shè)點(diǎn)P分別在P₁、P₂的位置，連接P₁B并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F，作FG⊥AB于G，
∴P₁F是∠ABO的角平分線，
∴GF=FO，
在Rt△BGF和Rt△BOF中，

BF=BF GF=OF

，
∴Rt△BGF≌Rt△BOF，
∴BG=BF．
在Rt△ABO中由勾股定理，得
AB=

2.25+4

=2.5，
∴AG=1，設(shè)OF=x，GF=x，AF=2-x．
在Rt△AGF中，由勾股定理，得
1+x²=（2-x）²，
解得：x=

3

4

．
∵∠FBO=∠P₁BH，
∴△BOF∽△BHP₁，
∴

BO

HB

=

FO

HP1

，
∴

3 2

3

=

3 4

HP1

，
∴HP₁=

3

2

，
∴P₁（-4.5，-1.5）
由△P₂HB∽△BOF，得

HB

OF

=

P2H

OB

，
∴

3

3 4

=

P2H

3 2

∴P₂H=6，
∴P₂（-4.5，6）．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-4.5，-1.5），（-4.5，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了等腰梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求拋物線的解析式的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用及解直角三角形的方法的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵．