【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)P,Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),都以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿AB,AC邊運(yùn)動(dòng),其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng),這時(shí),在x軸上是否存在點(diǎn)E,使得以A,E,Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請求出E點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(3)當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí),APQ沿PQ翻折,點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處,請判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀,并求出D點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)C(0,-4).(2)存在.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-,0)或(-,0)或(-1,0)或(7,0).(3)四邊形APDQ為菱形,D點(diǎn)坐標(biāo)為(-,-).

【解析】

試題分析:(1)將A,B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中,求得b、c,進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo).

(2)等腰三角形有三種情況,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分線,畫圓易得E大致位置,設(shè)邊長為x,表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo).

(3)注意到P,Q運(yùn)動(dòng)速度相同,則APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形,又由A、D對稱,則AP=DP,AQ=DQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.利用菱形對邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點(diǎn)坐標(biāo),又D在E函數(shù)上,所以代入即可求t,進(jìn)而D可表示.

試題解析:(1)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(-1,0),

,解得,

y=x2-x-4.

C(0,-4).

(2)存在.

如圖1,過點(diǎn)Q作QDOA于D,此時(shí)QDOC,

A(3,0),B(-1,0),C(0,-4),O(0,0),

AB=4,OA=3,OC=4,

AC==5,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng),AB=4,

AQ=4.

QDOC,

,

QD=,AD=

作AQ的垂直平分線,交AO于E,此時(shí)AE=EQ,即AEQ為等腰三角形,

設(shè)AE=x,則EQ=x,DE=AD-AE=|-x|,

在RtEDQ中,(-x)2+(2=x2,解得 x=

OA-AE=3-=-,

E(-,0),

說明點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上;

以Q為圓心,AQ長半徑畫圓,交x軸于E,此時(shí)QE=QA=4,

ED=AD=,

AE=,

OA-AE=3-=-

E(-,0).

當(dāng)AE=AQ=4時(shí),

1.當(dāng)E在A點(diǎn)左邊時(shí),

OA-AE=3-4=-1,

E(-1,0).

2.當(dāng)E在A點(diǎn)右邊時(shí),

OA+AE=3+4=7,

E(7,0).

綜上所述,存在滿足條件的點(diǎn)E,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-,0)或(-,0)或(-1,0)或(7,0).

(3)四邊形APDQ為菱形,D點(diǎn)坐標(biāo)為(-,-).理由如下:

如圖2,D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對稱,過點(diǎn)Q作,F(xiàn)QAP于F,

AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,

AP=AQ=QD=DP,

四邊形AQDP為菱形,

FQOC,

,

AF=t,F(xiàn)Q=t

Q(3-t,-t),

DQ=AP=t,

D(3-t-t,-t),

D在二次函數(shù)y=x2-x-4上,

-t=(3-t)2-(3-t)-4,

t=,或t=0(與A重合,舍去),

D(-,-).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】計(jì)算:48°39′+67°33′= ______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】因式分解:﹣3x2+6xy﹣3y2=_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列木棍的長度中,最接近9厘米的是( )

A. 10厘米 B. 9.9厘米 C. 9.6厘米 D. 8.6厘米

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)A(-3,y1),B(-1y2),C2y3)在拋物線y= x2上,則y1y2,y3的大小關(guān)系系是__________________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市一中學(xué)舉行了中國夢校園好少年演講比賽活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績劃分為A,B,C,D四個(gè)等級,繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:

(1)C等級對應(yīng)扇形的圓心角為 度;

(2)學(xué)校欲從獲A等級的學(xué)生中隨機(jī)選取2人參加市演講比賽,請利用列表法或樹形圖法求獲A等級的小明參加市演講比賽的概率.(假設(shè)小明用A1表示,其他三人分別用A2、A3、A4表示)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,若∠A=95°,∠B=40°,則∠C的度數(shù)為(
A.35°
B.40°
C.45°
D.50°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】11個(gè)互不相同的數(shù),下面哪種方法可以不改變它們的中位數(shù)( 。

A. 將每個(gè)數(shù)加倍 B. 將最小的數(shù)增加任意值

C. 將最大的數(shù)減小任意值 D. 將最大的數(shù)增加任意值

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列圖形中有穩(wěn)定性的是(  

A.平行四邊形B.長方形C.正方形D.直角三角形

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案