【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P(x,y),若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x+ay,ax+y)(其中a為常數(shù),且a≠0),則稱Q是點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”.例如:點(diǎn)P(1,2)的“3系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”Q的坐標(biāo)為(7,5).
(1)點(diǎn)(3,0)的“2系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為 ;若點(diǎn)P的“系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)是(,0),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ;
(2)若點(diǎn)P(x,y)的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”與“系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”均關(guān)于x軸對稱,則點(diǎn)P分布在 ,請證明這個(gè)結(jié)論;
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P不與原點(diǎn)重合,點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”為點(diǎn)Q,且PQ的長度為OP長度的3倍,求a的值.
【答案】(1)(3,6) ,P(1,2);(2)點(diǎn)P分布在x軸上,證明見解析;(3)a=±3.
【解析】分析:(1)根據(jù)“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的定義進(jìn)行解答即可;
(2)根據(jù)“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的定義得出點(diǎn)P(x,y)的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”和“-a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo),然后根據(jù)這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱即可求出y=0,即點(diǎn)P在x軸上;
(3)由(2)可知點(diǎn)P在x軸上,設(shè)P(x,0)(x≠0),根據(jù)“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的定義表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)PQ的長度為OP長度的3倍建立方程即可求出a的值.
詳解:(1)點(diǎn)(3,0)的“2系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(3+2×0,2×3+0),即;
設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P的“-2系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x-2y,-2x+y),
∵點(diǎn)P的“系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)是(,0),
∴,
解得:,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
故答案為:(3,6),(1,2);
(2)點(diǎn)P分布在x軸上.
證明:∵點(diǎn)P(x,y)的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x+ay, ax+y)(其中a為常數(shù),且a≠0),
點(diǎn)P(x,y)的“-a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”為(x-ay, -ax+y).
∵點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”與“-a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”均關(guān)于x軸對稱,
∴
∵a≠0,
∴y=0.
∴點(diǎn)P在x軸上;
(3)∵在(2)的條件下,點(diǎn)P不與原點(diǎn)重合,
∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, 0),x≠0.
∵點(diǎn)P的“a系聯(lián)動(dòng)點(diǎn)”為點(diǎn)Q,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x, ax).
∵PQ的長度為OP長度的3倍,
∴.
∴.
∴a=±3.
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(2)證明: .
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C.一個(gè)數(shù)的絕對值一定是正數(shù)D.倒數(shù)等于本身的數(shù)是1
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(2)如圖2,若點(diǎn)A是直線DE的上方一點(diǎn),點(diǎn)G在BC的延長線上求證:∠ACG=∠BAC+∠ABC;
(3)如圖3,FH平分∠AFE,CH平分∠ACG,且∠FHC比∠A的2倍少60°,直接寫出∠A的度數(shù).
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【題目】按照下列要求畫圖并填空:
(1)過點(diǎn)畫出直線的垂線,交直線于點(diǎn),那么點(diǎn)到直線的距離是線段______________的長.
(2)作出△的邊的垂直平分線,分別交邊、于點(diǎn)、,聯(lián)結(jié),那么線段是△的______________.(保留作圖痕跡)
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