【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)G,過D作EF⊥AC于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)當(dāng)∠BAC=60°,AB=8時(shí),求EG的長;
(3)當(dāng)AB=5,BC=6時(shí),求tanF的值.
【答案】(1)見解析;(2)2;(3)tanF=.
【解析】
(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODB=∠C,證出OD∥AC,再由已知得出EF⊥OD,即可證出EF是⊙O的切線;
(2)連接BG、AD,由圓周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°,即BG⊥AC,AD⊥BC,由等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD,證出△ABC是等邊三角形,得出AC=AC=8,證出EF∥BG,由平行線得出CE:EG=CD:BD,證出CE=EG,由等腰三角形的性質(zhì)得出,即可得出EG的長;
(3)由等腰三角形的性質(zhì)得出,由勾股定理求出,由三角函數(shù)求出,得出,再由勾股定理求出,由平行線得出△ODF∽△AEF,得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出,在Rt△ODF中,由三角函數(shù)定義即可得出答案.
解(1)證明:如圖1,連接OD,
∵AB=AC,
∴∠C=∠OBD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵EF⊥AC,
∴EF⊥OD,
∴EF是⊙O的切線;
(2)如圖2,連接BG、AD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AGB=∠ADB=90°,
即BG⊥AC,AD⊥BC,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴BD=CD,△ABC是等邊三角形,
∴AC=AC=8,
∵EF⊥AC,
∴EF∥BG,
∴CE:EG=CD:BD,
∴CE=EG,
∵BG⊥AC,
∴CG=AG=AC=4,
∴EG=CG=2;
(3)解:∵AD⊥BC,CD=BD=BC=3,
∴AD===4,sinC===,
∴DE=CD=×3=,
∴AE===,
∵OD∥AC,
∴△ODF∽△AEF,
∴,即,
解得:DF=,
在Rt△ODF中,OD=AB=,
∴tanF===.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】植樹節(jié)期間,某校倡議學(xué)生利用雙休日“植樹”勞動(dòng),為了解同學(xué)們勞動(dòng)情況.學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的勞動(dòng)時(shí)間,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖中信息回顧下列:
(1)通過計(jì)算,將條形圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形圖形中“1.5小時(shí)”部分圓心角是 ;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為正整數(shù)的正方形ABCD被分成了四個(gè)小長方形且點(diǎn)E,F,G,H在同一直線上(點(diǎn)F在線段EG上),點(diǎn)E,N,H,M在正方形ABCD的邊上,長方形AEFM,GNCH的周長分別為6和10.則正方形ABCD的邊長的最小值為( 。
A.3B.4C.5D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列命題:①若則②若則③對(duì)頂角相等;④等腰三角形的兩底角相等.其中原命題和逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( 。
A.3x×2x2=6x2B.8x2y÷2x2y=4
C.(x﹣y)2=x2﹣y2D.(x3y2)2x5y4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=x2+bx+c過A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,﹣3),動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P在第四象限內(nèi)的拋物線上,過動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,垂足為E,求線段PD的長,當(dāng)線段PD最長時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)是否存在點(diǎn)P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,E是CD邊上一點(diǎn),DE=2,過B作AE的垂線,垂足為點(diǎn)F,BF=3,將△ADE沿AE翻折,得到△AGE,AG與BF于點(diǎn)M,連接BG,則△BMG的周長為______
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了尺規(guī)作圖,小明發(fā)現(xiàn)有些作圖只用一種工具就可以完成,你能解決下列問題嗎?
(1)請只用無刻度的直尺完成下列作圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡(用虛線表示畫圖過程,實(shí)線表示畫圖結(jié)果)在圖1中,過點(diǎn)A畫一條直線把正五邊形ABCDE分成面積相等的兩部分;
(2)已知直線l及l外一點(diǎn)A(按下列要求作圖,不寫畫法,保留畫圖痕跡).
①在圖2中,只用圓規(guī)在直線l上畫出兩點(diǎn)B、C,使得點(diǎn)A、B、C是一個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn);
②在圖3中,只用圓規(guī)在直線l外畫出一點(diǎn)P,使得點(diǎn)A、P所在直線與直線l平行.
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