Question

如圖，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AD=DC=4cm，點N在DC上，且CN=1cm，E是AB中點，請在對角線AC上找一點M使EM+MN的值最小，并求出EM+MN的最小值．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：首先得出梯形底角的度數(shù)，進而連接EN即可確定M的位置，連接EN，交AC于M，作EH⊥BC于H，NF⊥BC于F，作NG⊥EH于G，通過解直角三角形求得EH、BH、FC、NF的值，進而求得GN、EG的值根據(jù)勾股定理就可求出其和最小值．

解答：解：連接EN，交AC于M，作EH⊥BC于H，NF⊥BC于F，作NG⊥EH于G，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AD=DC=4cm，
∴∠B=∠DCB，∠DAC=∠DCA，∠DAC=∠ACB，
∴設∠ACB=x，則∠B=2x，
∴3x=90°，
解得：x=30°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=8cm，
∵E是AB的中點，
∴EB=2cm，
∴BH=

1

2

BE=1，EH=

3

2

BE=

3

，
∵NC=1，
同理可證：FC=

1

2

，F(xiàn)N=

3

2

，
∴GN=HF=BC-BH-FC=8-1-

1

2

=

13

2

，EG=EH-NF=

3

2

，
∴EN=

EG2+GN2

=

43

，
∴EM+MN的最小值為

43

．

點評：此題主要考查了軸對稱求最短路線以及等腰梯形的性質(zhì)等知識，解決此題的關(guān)鍵是確定點M的位置．如果在直線的異側(cè)有兩個點，要在直線上找一點到兩個點的距離之和最短，方法是連接這兩個點與直線的交點即為到兩個點的距離之和最小的點的位置．