Question

如圖，拋物線C₁：y=（x+m）²（m為常數(shù)，m＞0），平移拋物線y=-x²，使其頂點(diǎn)D在拋物線C₁位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C₂．拋物線C₂交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．
 
（1）如圖1，若m=

1

2

．
①當(dāng)OC=2時(shí)，求拋物線C₂的解析式；
②是否存在a，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)OB=2

3

-m（0＜m＜

3

）時(shí)，請直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）①首先寫出平移后拋物線C₂的解析式（含有未知數(shù)a），然后利用點(diǎn)C（0，2）在C₂上，求出拋物線C₂的解析式；
②認(rèn)真審題，題中條件“AP=BP”意味著點(diǎn)P在對稱軸上，“點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大”意味著OP⊥BC．畫出圖形，如答圖1所示，利用三角函數(shù)（或相似），求出a的值；
（2）解題要點(diǎn)有3個(gè)：
i）判定△ABD為等邊三角形；
ii）理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；
iii）滿足條件的點(diǎn)有4個(gè)，即△ABD形內(nèi)1個(gè)（內(nèi)心），形外3個(gè)．不要漏解．

解答：解：（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，拋物線C₁：y=（x+

1

2

）²．
∵拋物線C₂的頂點(diǎn)D在拋物線C₁上，且橫坐標(biāo)為a，
∴D（a，（a+

1

2

）²）．
∴拋物線C₂：y=-（x-a）²+（a+

1

2

）²  ①．
①∵OC=2，∴C（0，2）．
∵點(diǎn)C在拋物線C₂上，
∴-（0-a）²+（a+

1

2

）²=2，
解得：a=

7

4

，代入拋物線C₂：y=-（x-a）²+（a+

1

2

）²，
得拋物線C₂的解析式為：y=-x²+

7

2

x+2．
②存在a使得點(diǎn)P，滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP；
在①式中，令y=0，即：-（x-a）²+（a+

1

2

）²=0，
解得x=2a+

1

2

或x=-

1

2

，∴B（2a+

1

2

，0）；
令x=0，得：y=a+

1

4

，∴C（0，a+

1

4

）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有：

k•(2a+ 1 2 )+b=0 b=a+ 1 4

，解得

k=- 1 2 b=a+ 1 4

，
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+（a+

1

4

）．
假設(shè)存在滿足條件的a值．
∵AP=BP，
∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)P在C₂的對稱軸上；
∵點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和≤BC，只有OP⊥BC時(shí)等號成立，
∴OP⊥BC．
如答圖1所示，設(shè)C₂對稱軸x=a（a＞0）與BC交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)E，
則OP⊥BC，OE=a．
∵點(diǎn)P在直線BC上，∴P（a，

1

2

a+

1

4

），PE=

1

2

a+

1

4

．
∵tan∠EOP=tan∠BCO=

OB

OC

=

2a+ 1 2

a+ 1 4

=2，
∴

PE

OE

=

1 2 a+ 1 4

a

=2，
解得：a=

1

6

．
∴存在a=

1

6

，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP．

（3）∵拋物線C₂的頂點(diǎn)D在拋物線C₁上，且橫坐標(biāo)為a，
∴D（a，（a+m）²）．
∴拋物線C₂：y=-（x-a）²+（a+m）²．
令y=0，即-（x-a）²+（a+m）²=0，解得：x₁=2a+m，x₂=-m，∴B（2a+m，0）．
∵OB=2

3

-m，∴2a+m=2

3

-m，∴a=

3

-m．
∴D（

3

-m，3）．
AB=OB+OA=2

3

-m+m=2

3

．
如答圖2所示，設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，則DE=3，BE=

1

2

AB=

3

，OE=OB-BE=

3

-m．
∵tan∠ABD=

DE

BE

=

3

3

=

3

，∴∠ABD=60°．
又∵AD=BD，∴△ABD為等邊三角形．
作∠ABD的平分線，交DE于點(diǎn)P₁，則P₁E=BE•tan30°=

3

•

3

3

=1，
∴P₁（

3

-m，1）；
在△ABD形外，依次作各個(gè)外角的平分線，它們相交于點(diǎn)P₂、P₃、P₄．
在Rt△BEP₂中，P₂E=BE•tan60°=

3

•

3

=3，
∴P₂（

3

-m，-3）；
易知△ADP₃、△BDP₄均為等邊三角形，∴DP₃=DP₄=AB=2

3

，且P₃P₄∥x軸．
∴P₃（-

3

-m，3）、P₄（3

3

-m，3）．
綜上所述，到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)有4個(gè)，
其坐標(biāo)為：P₁（

3

-m，1），P₂（

3

-m，-3），P₃（-

3

-m，3），P₄（3

3

-m，3）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)壓軸題，以平移變換為背景，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)（或相似）、等邊三角形、角平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，有一定的難度．函數(shù)解析式中含有未知數(shù)，增大了試題的難度．第（2）問中，解題關(guān)鍵是理解“點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP”的含義；第（3）問中，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，不要漏解．