Question

如圖，經(jīng)過點(diǎn)A（0，-6）的拋物線y=

1

2

x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y₁，若新拋物線y₁的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；
（3）在（2）的結(jié)論下，新拋物線y₁上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形？請(qǐng)分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知的函數(shù)的解析式即可利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)平移確定平移后的函數(shù)的解析式，然后確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式，然后確定m的取值范圍即可；
（3）求出AB中點(diǎn)，過此點(diǎn)且垂直于AB的直線在x=1的交點(diǎn)應(yīng)該為頂點(diǎn)P的臨界點(diǎn)，頂點(diǎn)P繼續(xù)向上移動(dòng)，不存在Q點(diǎn)，向下存在兩個(gè)點(diǎn)P．

解答：解：（1）將A（0，-6），B（-2，0）代入y=

1

2

x²+bx+c，
得：

-6=c 0=2-2b+c

，
解得：

b=-2 c=-6

，
∴y=

1

2

x²-2x-6，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-8）；

（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y₁=

1

2

（x-2+1）²-8+m，
∴P（1，-8+m），
在拋物線y=

1

2

x²-2x-6中易得C（6，0），
∴直線AC為y₂=x-6，
當(dāng)x=1時(shí)，y₂=-5，
∴-5＜-8+m＜0，
解得：3＜m＜8；

（3）∵A（0，-6），B（-2，0），
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3），直線AB的解析式為y=-3x-6，
∴過AB的中點(diǎn)且與AB垂直的直線的解析式為：y=

1

3

x-

8

3

，
∴直線y=

1

3

x-

8

3

與y=

1

2

（x-1）²-8+m有交點(diǎn)，
聯(lián)立方程，求的判別式為：
△=64-12（6m-29）≥0
解得：m≤

103

18

∴①當(dāng)3＜m＜

103

18

時(shí)，存在兩個(gè)Q點(diǎn)，可作出兩個(gè)等腰三角形；      
②當(dāng)m=

103

18

時(shí)，存在一個(gè)點(diǎn)Q，可作出一個(gè)等腰三角形；
③當(dāng)

103

18

＜m＜8時(shí)，Q點(diǎn)不存在，不能作出等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中還滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想，這也是中考中常常出現(xiàn)的重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)加強(qiáng)此類題目的訓(xùn)練．