Question

（本題滿分10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是BC上一定點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從D出發(fā)，以1cm/s的速度沿D→B方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P出發(fā)5 s后,點(diǎn)Q才開始出發(fā)，且當(dāng)一個(gè)點(diǎn)達(dá)到B時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．圖2是當(dāng)時(shí)△BPQ的面積S（ cm2）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象．

（1）CD = , ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，為何值時(shí)，使得△BPQ與△ABC為相似？

（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時(shí)的值．

 

Answer 1

（1）2 10．8 （2）或6 （3）5、

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象得到當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△BPQ的面積為18，利用三角形面積公式可計(jì)算出BD=6，則CD=2，當(dāng)t=5s時(shí)，AP=4，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10，再證明△BPH∽△BAC，利用相似比計(jì)算出PH，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△PBQ，即a=S△PBQ；

（2）分類討論：當(dāng)3＜t≤5，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，BP=16-2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)5＜t≤8，DQ=t-5，BQ=11-t，BP=16-2t，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，分類討論：當(dāng)BP=BQ，則16-2t=11-t，解方程得t=5；當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得則BM=BQ=（11-t），再證明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

試題解析：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△BPQ的面積為18，

∴×6•BD=18，解得BD=6，

∴CD=BC-BD=2，

當(dāng)t=5s時(shí)，AP=2×5-6=4，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

∵PH∥AC，

∴△BPH∽△△BAC，

∴，即，解得PH=

∴S△PBQ=×6×=

即a=

故答案為：2，；

（2）點(diǎn)P在邊AB上，

當(dāng)3＜t≤5，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，BP=16-2t，

若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，

∴，即，解得t=；

當(dāng)5＜t≤8，DQ=t-5，則BQ=8-2-（t-5）=11-t，BP=16-2t，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，如圖②，

∵△BPQ∽△BAC，

∴=，即=，解得t=3，不合題意舍去；

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，如圖③，

∵△BPQ∽△BCA，

∴，即，解得t=6，

綜上所述，當(dāng)t為或6時(shí)，△BPQ與△ABC為相似；

 

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，

當(dāng)BP=BQ，則16-2t=11-t，解得t=5；

當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，

則BM=BQ=（11-t），

∵PM∥AC，

∴△BPM∽△BAC，

∴，即，解得t=，

綜上所述，當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時(shí)t的值為5或．

考點(diǎn)：函數(shù)圖象與性質(zhì)，等腰三角形，相似三角形，勾股定理