Question

先閱讀、再解決問題．
平面直角坐標系下，一組有規(guī)律的點：
A₁（0，1）、A₂（1，0）、A₃（2，1）、A₄（3，0）、A₅（4，1）、A₆（5，0）…注：當n為奇數(shù)時，A_n（n-1，1），n為偶數(shù)時A_n（n-1，0）．
拋物線C₁經(jīng)過A₁，A₂，A₃三點，拋物線C₂經(jīng)過A₂，A₃，A₄三點，拋物線C₃經(jīng)過A₃，A₄，A₅三點，拋物線C₄經(jīng)過A₄，A₅，A₆三點，…拋物線C_n經(jīng)過A_n，A_n+1，A_n+2．
（1）直接寫出拋物線C₁，C₄的解析式；
（2）若點E（e，f₁）、F（e，f₂）分別在拋物線C₂₇、C₂₈上，當e=29時，求證：△A₂₈EF是直角三角形；
（3）若直線x=m分別交x軸、拋物線C₂₀₁₃、C₂₀₁₄于點P、M、N，作直線A₂₀₁₄M、A₂₀₁₄N，當∠PA₂₀₁₄M=45°時，求sin∠PA₂₀₁₄N的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)頂點式即可求出C₁，C₄的解析式；
（2）由特殊出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)拋物線C₂₇、C₂₈的解析式應(yīng)該為：y₂₇=（x-27）²，y₂₈=-（x-28）²+1．則得到點E（29，4）、F（29，0）、A₂₈（27，0），根據(jù)兩點之間的距離公式和勾股定理即可證明△A₂₈EF是直角三角形；
（3）分兩種情況：在A₂₀₁₄（2013，0）點左側(cè)；在A₂₀₁₄（2013，0）點右側(cè)；根據(jù)三角函數(shù)即可得到sin∠PA₂₀₁₄N的值．

解答：解：（1）由頂點式求出C₁的解析式為：y₁=（x-1）²，C₄的解析式為：y₄=-（x-4）²+1．                
（2）由特殊出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)這組拋物線解析式的特點：
y₁=（x-1）²，
y₂=-（x-2）²+1，
y₃=（x-3）²，
y₄=-（x-4）²+1，
…
∴拋物線C₂₇、C₂₈的解析式應(yīng)該為：y₂₇=（x-27）²，y₂₈=-（x-28）²+1．
如圖，此時點E（e，f₁）、F（e，f₂）分別為點E（29，4）、F（29，0）；而點A₂₈的坐標是（27，0），

顯然△A₂₈EF是直角三角形．
（3）由（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可知，拋物線C₂₀₁₃、C₂₀₁₄解析式分別為：y₂₀₁₃=（x-2013）²，
y₂₀₁₄=-（x-2014）²+1．
點A₂₀₁₄坐標為（2013，0）．
順便指向，由（2）的研究經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，可以退回簡單的拋物線C₃、C₄的情況來研究．分以下兩種情況，如圖
在A₂₀₁₄（2013，0）點左側(cè)，當m=2012時，M（2012，1）此時有∠PA₂₀₁₄M=45°，N（2012，-3），相應(yīng)的sin∠PA₂₀₁₄N的值為

3 10

10

；  
在A₂₀₁₄（2013，0）點右側(cè)，當m=2014時，M（2014，1）此時有∠PA₂₀₁₄M=45°，N（2014，1），相應(yīng)的sin∠PA₂₀₁₄N的值為

2

2

．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：頂點式求拋物線的解析式，兩點之間的距離公式，勾股定理逆定理，分類思想的應(yīng)用，三角函數(shù)的知識．綜合性較強，有一定的難度．