Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接AF、BE交于點(diǎn)G，連接CE、DF交于點(diǎn)H．
（1）求證：BE=CE；
（2）求證：四邊形EGFH是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB、DC的關(guān)系，∠BAE與∠CDE的關(guān)系，根據(jù)線段的中點(diǎn)，可得AE與DE的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得證明結(jié)論；
（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊形，可證明四邊形AECF、BEDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得GF與EH、EG與FH的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得EGFH的形狀，根據(jù)三角形全等，可得EG與FG的關(guān)系，根據(jù)菱形的定義，可得證明結(jié)論．

解答：證明：如圖            
（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=CD，∠BAE=∠CDE=90°．
∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE．
在△ABE和△DCE中

AB=DC ∠BAE=∠CDE AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴BE=CE；
（2）∵AD=BC，且E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴AE=DE=BF=CF
又∵AD∥BC，
∴四邊形AECF、BEDF是平行四邊形．
∴GF∥EH、EG∥FH．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
在△AEG和△FBG中

∠AEG=∠FBG ∠EAG=∠BFG AE=BF

∴△AEG≌△FBG（AAS）
∴EG=GF．
∴四邊形EGFH是菱形．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，（1）先證明三角形全等，再證明對應(yīng)邊相等；（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．