Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=-x+

2

與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在第一象限內(nèi)，有點(diǎn)P向x軸，y軸所作的垂線(xiàn)PM，PN（垂足為M，N）分別于直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P（a，b）運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形PMON的面積為定值1．
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）求證：△AOF∽△BEO；
（3）當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)都在線(xiàn)段AB上時(shí)，由三條線(xiàn)段AE，EF，BF組成一個(gè)三角形，記此三角形的外接圓面積為S₁，△OEF的面積為S₂．試探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出該最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得OA=OB，則△AOB是等腰直角三角形；
（2）根據(jù)相似三角形的判定定理“兩邊及夾角法”證明△AOF∽△BOE；
（3）先根據(jù)E、F的坐標(biāo)表示出相應(yīng)的線(xiàn)段，根據(jù)勾股定理求出線(xiàn)段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則可以表示此三角形的外接圓的面積S₁，再由梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以表示出S₂，就可以表示出和的解析式，再由如此函數(shù)的性質(zhì)就可以求出最值

解答：（1）解：∵直線(xiàn)y=-x+

2

與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，
∴OA=OB=

2

，
∴∠OAB=45°；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥x軸于點(diǎn)D．則易知AF=

2

b，BE=

2

a，
∴AF•BE=2ab=2
∵OA=OB=

2

，
∴∠FAO=∠EBO；
∵AF•BE=2；
又∵OA•OB=2，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO；

（3）解：∵四邊形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形．
∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，E（a，

2

-a），
∴AM=EM=

2

-a，
∴AE²=2（

2

-a）²=2a²-4

2

a+4．
∵F的縱坐標(biāo)為b，F(xiàn)（

2

-b，b）
∴BN=FN=

2

-b，
∴BF²=2（

2

-b）²=2b²-4

2

b+4．
∴PF=PE=a+b-

2

，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴線(xiàn)段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則此三角形的外接圓的面積為：
S₁=

π

4

EF²=

π

4

•2（a+b-2）²=

π

2

（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF=

1

2

（PF+ON）•PM，S_△PEF=

1

2

PF•PE，S_△OME=

1

2

OM•EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME
=

1

2

（PF+ON）•PM-

1

2

PF•PE-

1

2

OM•EM
=

1

2

[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]
=

1

2

（PF•EM+OM•PE）
=

1

2

PE（EM+OM）
=

1

2

（a+b-2）（2-a+a）
=a+b-2．
∴S₁+S₂=

π

2

（a+b-2）²+a+b-2．
設(shè)m=a+b-2，則S₁+S₂=

π

2

m²+m=

π

2

（m+

1

π

）²-

1

2π

，
∵面積不可能為負(fù)數(shù)，
∴當(dāng)m＞-

1

π

時(shí)，S₁+S₂隨m的增大而增大．
當(dāng)m最小時(shí)，S₁+S₂最�。�
∵m=a+b-2=a+

2

a

-2=（

a

-

2

a

）²+2

2

-2，
∴當(dāng)

a

=

2

a

，即a=b=

2

時(shí)，m最小，最小值為2

2

-2
∴S₁+S₂的最小值=

π

2

（2

2

-2）²+2

2

-2=2（3-2

2

）π+2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理及勾股定理的逆定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，圓的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在解答時(shí)運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求最值是關(guān)鍵和難點(diǎn)．