Question

如圖，O，H分別是銳角△ABC的外心和垂心，D是BC邊上的中點．由H向∠A及其外角平分線作垂線，垂足分別是E，F(xiàn)．求證：D，E，F(xiàn)三點共線．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心,角平分線的性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)AE平分∠BAC，M為

BC

的中點，可證A、E、M三點共線，根據(jù)已知證明EG∥OA，DG∥OA，可證D、E、G三點共線，而F在EG上，故可證D、E、F三點共線．

解答：證明：如圖，連接OA、OD，并延長OD交⊙O于M，
則OD⊥BC，

BM

=

CM

，
∴A、E、M三點共線，
又AE、AF是∠A及其外角平分線，
∴AE⊥AF，
∵HE⊥AE，HF⊥AF，
∴四邊形AEHF為平行四邊形，
∴AH與EF互相平分，設其交點為G，
于是，AG=

1

2

AH=

1

2

EF=EG，
∵OA=OM，OD∥AH，
∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，
∴EG∥OA           ①
又O、H分別是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，
∴OD=

1

2

AH=AG，
∴四邊形AODG為平行四邊形，
∴DG∥OA，②
由①②可知，D、E、G三點共線，
而F在EG上，
∴D、E、F三點共線．

點評：本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)在證明三點共線問題中的運用．關(guān)鍵是利用平行線，圓周角定理，垂徑定理證明三點共線．