Question

銳角△ABC，BC上有一點(diǎn)D，CA上有一點(diǎn)E，AB上有一點(diǎn)F，試證：存在唯一一組解，使△AEF∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CDE∽△CAB．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：推理填空題

分析：△ABC的三條高AD₀，BE₀，CF₀，結(jié)論顯然成立．假設(shè)有一D點(diǎn)異于D₀滿足條件，通過(guò)△BDF∽△BAC，得

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DF

∥

.

D0F0

，得到∠BFD=∠BF₀D₀=∠ACB，同理有

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DE

∥

.

D0E0

，若D在D₀左側(cè)，則E，F(xiàn)也在左側(cè)，?

.

EF

與

.

E0F0

相交，故不平行，得到AFE≠∠AF₀E₀=∠ACB，不符合要求．若在右側(cè)亦然，所以假設(shè)不成立．原結(jié)論成立．

解答：解：作△ABC的三條高AD₀，BE₀，CF₀，結(jié)論顯然成立．
假設(shè)有一D點(diǎn)異于D₀滿足條件，
則△BDF∽△BAC，
∴

.

DF

∥

.

D0F0

，
∴∠BFD=∠BF₀D₀=∠ACB，
同理

.

DE

∥

.

D0E0

，
于是，若D在D₀左側(cè)，則E，F(xiàn)也在左側(cè)，?

.

EF

與

.

E0F0

相交，故不平行；
∴∠AFE≠∠AF₀E₀=∠ACB，不符合要求．
若在右側(cè)亦然，
所以假設(shè)不成立．
故D₀，E₀，F(xiàn)₀為唯一一組滿足條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形相似的判定與性質(zhì)：有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似．也考查了直線平行的性質(zhì)．