Question

已知：如圖所示，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上．
（1）請(qǐng)問(wèn)：AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（2）如果∠B=60°，證明：CD=3BD．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE=EC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD=DE，即可得出答案；
（2）求出BD=DE，AB=AE=EC，求出∠DAE=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AE=2DE，即可得出答案．

解答：解：（1）AB+BD=DC，
理由是：∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，
∵AB=AE，
∴AB=AE=EC，
∵AB=AE，AD⊥BE，
∴BD=DE，
∵DE+EC=DC，
∴AB+BD=DC；

（2）證明：∵AD⊥BE，
∴∠ADE=∠ADB=90°，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
∵AB=AE=EC，BD=DE，
∴CD=DE+CE=DE+2DE=3DE=3BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出AB=AE=EC，AE=2DE，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．