【題目】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(l)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由.

(2)性質(zhì)探宄:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關系.

猜想結(jié)論:(要求用文字語言敘述)

寫出證明過程(先畫出圖形,寫出已知、求證)

(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長.

【答案】(1)四邊形ABCD是垂美四邊形,理由見解析;(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等,過程見解析;(3)GE=

【解析】試題分析:1)根據(jù)垂直平分線的判定定理可得,直線AC是線段BD的垂直平分線,結(jié)論得證;

2)根據(jù)垂直的定義可得∠AED=AEB=BEC=CED=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,進而得到答案;

3)連接CG、BE,由題意易得GAB≌△CAE,可知∠ABG=AEC,進而得到四邊形BCGE是垂美四邊形;接下來根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及(2)的結(jié)論進行計算求解,即可完成解答.

試題解析:

解:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.

證明:∵AB=AD,

∴點A在線段BD的垂直平分線上,

CB=CD,

∴點C在線段BD的垂直平分線上,

∴直線AC是線段BD的垂直平分線,

ACBD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;

2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

如圖2,已知四邊形ABCD中,ACBD,垂足為E,

求證:AD2+BC2=AB2+CD2

證明:∵ACBD,

∴∠AED=AEB=BEC=CED=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2

AD2+BC2=AB2+CD2;

3)連接CGBE,

∵∠CAG=BAE=90°

∴∠CAG+BAC=BAE+BAC,即∠GAB=CAE

在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAE,

∴∠ABG=AEC,又∠AEC+AME=90°

∴∠ABG+AME=90°,即CEBG,

∴四邊形CGEB是垂美四邊形,

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,

AC=4AB=5,

BC=3CG=4,BE=5,

GE2=CG2+BE2﹣CB2=73,

GE=

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6

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型號

占地面積

(單位:m2/

可供使用農(nóng)戶數(shù)

(單位:戶/

A

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B

20

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