Question

對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點(diǎn)，以A_nB_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：首先求出拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由題意得到A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，進(jìn)而求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值．

解答：解：令y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0，
即x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0，
解得x=

1

n

或x=

1

n+1

，
故拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸的交點(diǎn)為（

1

n

，0），（

1

n+1

，0），
由題意得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，
則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2015

-

1

2016

=1-

1

2016

=

2015

2016

，
故答案為

2015

2016

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是用n表示出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，此題難度不大．