Question

如圖所示，已知正方形ABCD，直角三角形紙板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，紙板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角三角形紙板的一邊與直線CD交于E，分別過(guò)B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線時(shí)，如圖①，求證：BF=DG-FG；
（2）將圖①中的三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得圖②、圖③，此時(shí)BF、FG、DG之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論（不必證明）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖①，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關(guān)系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF-FG；即可證得BF=DG-FG；
（2）如圖②，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關(guān)系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF+FG，可得BF=DG+FG；如圖③，由四邊形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的關(guān)系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=FG-AF，可得BF=FG-DG．

解答：證明：（1）如圖①，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠GAD，
在△ABF和△ADG中，

∠AFB=∠DGA ∠ABF=∠DAG AB=AD

，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF-FG；
∴BF=DG-FG；
（2）如圖②，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，

∠AFB=∠DGA ∠ABF=∠DAG AB=AD

，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF+FG；
∴BF=DG+FG；
如圖③，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直線AE的垂線，垂足分別為F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，

∠AFB=∠DGA ∠ABF=∠DAG AB=AD

，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=FG-AF；
∴BF=FG-DG．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出△ABF≌△ADG．