Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)B（0，9），點(diǎn)C為x軸上一動點(diǎn)，連接BC，△ODC和△EBC都是等邊三角形．

（1）求證：DE＝BO；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在BC上時．

①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEC為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

③如圖3，點(diǎn)M是線段BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)B，點(diǎn)C除外），過點(diǎn)M作MG⊥BE于點(diǎn)G，MH⊥CE于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時，MH＋MG的值是否發(fā)生變化？若不會變化，直接寫出MH＋MG的值；若會變化，簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①E（6，9）；②存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－3，0）或（9，0）；③不變化，MH＋MG＝9

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①由點(diǎn)B（0，9），得到OB=9，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CDE=∠BOC=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DEC=30°，求得，過E作EF⊥x軸于F，角三角形即可得到結(jié)論；

②存在，如圖，當(dāng)時，當(dāng)CE=PE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；③不會變化，連接EM，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

（1）∵△ODC和△EBC都是等邊三角形

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD

即∠ECD＝∠BCO

∴△DEC≌△OBC（SAS）

∴DE＝BO

（2）①∵點(diǎn)B（0，9），

∴OB=9，

由（1）知△BCO≌△ECD，

∴∠CDE=∠BOC=90°，

∴DE⊥BC，

∵△EBC是等邊三角形，

∴∠DEC=30°，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∴，，

∴，

過E作EF⊥x軸于F，

∵∠DCO=∠BCE=60°，

∴∠ECF=60°，

∵，

∴，，

∵ ，

∴，

∴E（6，9）；

②存在，如圖，

當(dāng)時，

∵，

∴，，

∴；

當(dāng)CE=PE，

∵∠ECP=60°，

∴△CPE是等邊三角形，

∴P2，P3重合，

∴當(dāng)△PEC為等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－3，0）或（9，0）；

③不會變化，如圖，連接EM，

∵

∵BC=CE=BE，

∴GM+MH=DE=9，

∴MH+MG的值不會發(fā)生變化．