Question

閱讀下列材料：
小明同學(xué)遇到了這樣一個問題：如圖，M是邊長為a的正方形ABCD內(nèi)一定點，請在圖中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點M），使它們將正方形ABCD的面積分割成面積相等的四個部分．
小明是這樣思考的：數(shù)學(xué)課曾經(jīng)做過一道類似的題目．如圖2，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將以點O為頂點的直角繞點O任意旋轉(zhuǎn)，且直角兩邊與BA，CB相交，與正方形重疊部分（即陰影部分）的面積為一個確定的值．可以類比此問題解決．
（1）請你回答圖2中重疊部分（即陰影部分）的面積為

 

；
參考小明同學(xué)的想法，解答問題：

 

（2）請你在圖3中，解決原問題?

 

（3）如圖4．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點P是AD的中點，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分，請你畫出該直線，保留作圖痕跡．

Answer 1

考點：作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖

專題：

分析：（1）首先得出△BOM≌△CON（ASA），進而得出S_△BOC=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2；
（2）連接AC，BD，得到其交點O，進而將交點與M連接，再作與MO垂直的直線，即可得出答案．
（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得到其對角線交點，進而得出過交點的直線即可．

解答：解：（1）如圖2，連接BO，
∵O是邊長為a的正方形ABCD的中心，
∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，
∵∠CON+∠BON=90°，∠MOB+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON，
在△BOM和△CON中

∠MOB=∠CON BO=CO ∠MBO=∠NCO

，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴重疊部分的面積為：S_△BOC=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

a2；
故答案為：

1

4

a2；

（2）如圖3所示：

（3）如圖4所示：當(dāng)BQ=CD=b時，PQ將四邊形ABCD面積二等分．

點評：此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用圖形的中心得出符合題意的直線是解題關(guān)鍵．