【題目】如圖,△ABC中,∠C=Rt,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始,按CABC的路徑運動,且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為t秒.

1)出發(fā)2秒后,求△ABP的周長.

2)問t滿足什么條件時,△BCP為直角三角形?

3)另有一點Q,從點C開始,按CBAC的路徑運動,且速度為每秒2cm,若P、Q兩點同時出發(fā),當(dāng)PQ中有一點到達(dá)終點時,另一點也停止運動.當(dāng)t為何值時,直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分?

【答案】1))ABP的周長(7+)cm;(2時,△BCP為直角三角形;(3t=26.

【解析】試題分析:(1)過PPEAB,設(shè)CP=2t,根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行解答即可;

2)分類討論:當(dāng)CP=CB時,BCP為等腰三角形,若點PAC上得t=3s),若點PAB上,則t=5.4s;當(dāng)PC=PB時,BCP為等腰三角形,作PDBCD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD,則可判斷PDABC的中位線,則AP=AB=,易得t=s);當(dāng)BP=BC=3時,BCP為等腰三角形,則AP=AB-BP=2,易得t=6s);

(3)分兩種情況討論:當(dāng)P點在AC上,QAB上,則PC=t,BQ=2t-3,t+2t-3+3=6;當(dāng)P點在AB上,QAC上,則AC=t-4,AQ=2t-8,t-4+2t-8=6,分別求得t的值即可.

試題解析:(1)如圖1,過PPEAB,

∵點P恰好在∠BAC的角平分線上,且∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,

CP=EP,

∴△ACP≌△AEP(HL),

AC=4cm=AE,BE=5-4=1,

設(shè)CP=x,則BP=3-x,PE=x,

RtBEP中,BE2+PE2=BP2,

12+x2=(3-x)2

解得x=

BP=3-=,

CA+AB+BP=4+5+=,

t=÷1=s);

(2)如圖2,當(dāng)CP=CB時,BCP為等腰三角形,

若點PCA上,則1t=3,

解得t=3(s);

如圖3,當(dāng)BP=BC=3時,BCP為等腰三角形,

AP=AB-BP=2,

t=(4+2)÷1=6(s);

如圖4,若點PAB上,CP=CB=3,作CDABD,則根據(jù)面積法求得CD=,

RtBCD中,由勾股定理得,BD=,

PB=2BD=

CA+AP=4+5-=5.4

此時t=5.4÷1=5.4(s);

如圖5,當(dāng)PC=PB時,BCP為等腰三角形,作PDBCD,則BD=CD,

PDABC的中位線,

AP=BP=AB=,

t=4+÷1=s);

綜上所述,t3s5.4s6ss時,BCP為等腰三角形;

(3)如圖6,當(dāng)P點在AC上,QAB上,則PC=t,BQ=2t-3,

∵直線PQABC的周長分成相等的兩部分,

t+2t-3+3=6,

t=2(s);

如圖7,當(dāng)P點在AB上,QAC上,則AP=t-4,AQ=2t-8,

∵直線PQABC的周長分成相等的兩部分,

t-4+2t-8=6,

t=6(s);

綜上所述,當(dāng)t=26秒時,直線PQABC的周長分成相等的兩部分.

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