Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，2），B（3，2），連接AB．若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P，線段AB上都存在點(diǎn)Q，使得PQ≤2，則稱點(diǎn)P是線段AB的“影子”．

（1）在點(diǎn)C（0，1），D（2，），E（4，5）中，線段AB的”影子”是 ．

（2）若點(diǎn)M（m，n）在直線y=-x+2上，且不是線段AB的“影子”，求m的取值范圍．

（3）若直線y=x+b上存在線段AB的“影子”，求b的取值范圍以及“影子”構(gòu)成的區(qū)域面積．

Answer 1

【答案】（1）C，D；（2）m＜或m＞2；；（3）4π+8．

【解析】

（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)得出AB∥x軸，根據(jù)點(diǎn)P到直線AB的距離≤2，求出當(dāng)橫坐標(biāo)-1≤x≤3縱坐標(biāo)2≤y≤4范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)是線段AB的“臨近點(diǎn)”，看點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否在y的范圍內(nèi)即可以及在A點(diǎn)的左邊到A點(diǎn)的距離≤2，或在B點(diǎn)的右邊到B點(diǎn)的距離≤2，點(diǎn)是線段AB的“臨近點(diǎn)”；

（2）如圖，設(shè)直線線y=-x+2交“影子”于點(diǎn)C，F，如圖所示，延長(zhǎng)BA交y軸于E，過(guò)C作CD⊥BA于BA的延長(zhǎng)線于D，結(jié)合圖形和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求m的范圍；

（3）當(dāng)直線y=x+b與半圓A相切、與半圓B相切來(lái)求b的最值，從而得到b的取值范圍．

（1）C（0，1），D（2，）是線段AB的“臨近點(diǎn)”．理由是：

∵點(diǎn)P到直線AB的距離≤2，A、B的縱坐標(biāo)都是2，

∴AB∥x軸，2-2=0，2+2=4，

∴當(dāng)橫坐標(biāo)-1≤x≤3縱坐標(biāo)2≤y≤4范圍內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)是線段AB的“臨近點(diǎn)”，

∵D（2，），

∴D（2，）是線段AB的“臨近點(diǎn)”；

∵C（0，1），A（1，2），

∴AC=1-0=1，

∴C（0，1）是線段AB的“臨近點(diǎn)”．

故答案為：C和D；

（2）設(shè)直線線y=-x+2交“影子”于點(diǎn)C，F，如圖所示，延長(zhǎng)BA交y軸于E，過(guò)C作CD⊥BA于BA的延長(zhǎng)線于D，

在Rt△ADC中，設(shè)D（x，2），則DE=-x，CD=-x，

∴DA=1-x，AC=2，

∴（-x）2+（1-x）2=4，

解得：x1=，x2=，

∵直線y=-x+2與x軸的解得為F（2，0），

∴m＜或m＞2；

（3）設(shè)直線y=x+b與半圓B相切于G，與x軸交于k，與y軸交于I，過(guò)B作BH⊥x軸于H，

則H（3，0），

在Rt△BHK中，BH=2，∠BKH=60°，

∴HK=，

在Rt△OKI中，OI=3+2，則I（0，-3-2），

同理J（0，6-），

∴b的取值范圍：-2-3≤b≤6-，

∵“影子”構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閮蓚�(gè)半圓和一個(gè)矩形，

∴影子”構(gòu)成的區(qū)域面積=22π+4×2=4π+8．