【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)F在⊙O上,且點(diǎn)C是的中點(diǎn),過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:AE⊥DE;
(2)若∠BAF=60°,AF=4,求CE的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)CE=2.
【解析】
(1)連接OC,如圖,利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE,再利用圓周角定理得到∠BAC=∠EAC,加上∠BAC=∠OCA,所以∠EAC=∠OCA.則OC∥AE,從而得到AE⊥DE;
(2)連接BF交OC于G,如圖,利用圓周角定理得到∴∠BFA=90°.易得四邊形CEFG是矩形.則CO⊥BF,CF=GF,利用垂徑定理得到BG=GF,再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BF=AF=4,則BG=GF=2,從而得到CE的長(zhǎng).
(1)證明:連接OC,如圖,
∵DE切⊙O于C,
∴OC⊥DE,
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn),
∴∠BAC=∠EAC,
∵OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∴∠EAC=∠OCA.
∴OC∥AE.
∴AE⊥DE;
(2)連接BF交OC于G,如圖,
∵AB是⊙O直徑,
∴∠BFA=90°.
易得四邊形CEFG是矩形.
∴CO⊥BF,CF=GF,
∴BG=GF,
在Rt△ABF中,∠BAE=60°,AF=4,
∴BF=AF=4,
∴BG=GF=2
∴CE=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一聲汽笛長(zhǎng)鳴,火車開進(jìn)了蔡家崖.這是我省呂梁革命老區(qū)人民期盼已久的客運(yùn)列車.蔡家崖列車的開通.帶動(dòng)老區(qū)駛?cè)肓税l(fā)展紅色旅游的快車進(jìn).某旅行社對(duì)去年“國(guó)慶”期間到呂梁觀光的游客的出行方式進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,整理后繪制了兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整).根據(jù)圖中信息,回答下列問題:
(1)求本次抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù):
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“其他”部分扇形的圓心角度數(shù)為____;
(4)去年“國(guó)慶”期問到呂梁觀光的旅游者為275萬(wàn)人,則選擇自駕方式出行的有多少萬(wàn)人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩輛汽車同時(shí)從相距330千米的甲、乙兩地相向而行,s(千米)表示汽車與甲地的距離,t(分)表示汽車行駛的時(shí)間,如圖,L1,L2分別表示兩輛汽車的s與t的關(guān)系.
(1)L1表示哪輛汽車到甲地的距離與行駛時(shí)間的關(guān)系?
(2)汽車B的速度是多少?
(3)求L1,L2分別表示的兩輛汽車的s與t的關(guān)系式.
(4)2小時(shí)后,兩車相距多少千米?
(5)行駛多長(zhǎng)時(shí)間后,A、B兩車相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠ADB=90°,AB=2AD,BD的垂直平分線分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,垂足為O.
(1)求tan ∠ABD的值;
(2)求證:OE=OF;
(3)連接DE,BF,若AD=6,求DEBF的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,在中,,以點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑的圓交于點(diǎn),的延長(zhǎng)線交⊙于點(diǎn),連接,是⊙上一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)位于兩側(cè),且,連接.
(1)求證:;
(2)若,,求的長(zhǎng)及的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,2),B(3,2),連接AB.若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P,線段AB上都存在點(diǎn)Q,使得PQ≤2,則稱點(diǎn)P是線段AB的“影子”.
(1)在點(diǎn)C(0,1),D(2,),E(4,5)中,線段AB的”影子”是 .
(2)若點(diǎn)M(m,n)在直線y=-x+2上,且不是線段AB的“影子”,求m的取值范圍.
(3)若直線y=x+b上存在線段AB的“影子”,求b的取值范圍以及“影子”構(gòu)成的區(qū)域面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線BD上,EG⊥BC,垂足為點(diǎn)G,EF⊥AB,垂足為點(diǎn)F.
(1)證明與猜想:
①求證:△BEF∽△BDA;
②猜想:的值為 :
(2)探究與證明:
將正方形BFEG繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段DE與CG之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展與運(yùn)用:正方形BFEG在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)A,F,G三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖(3)所示,延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)H.若DE=3,EH=,則BC= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校九年級(jí)男生的體能情況,體育老師從中隨機(jī)抽取部分男生進(jìn)行引體向上測(cè)試,并對(duì)成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制成尚不完整的扇形圖和條形圖,根據(jù)圖形信息回答下列問題:
(1)本次抽測(cè)的男生有________人,抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)是_________;
(2)請(qǐng)將條形圖補(bǔ)充完整;
(3)若規(guī)定引體向上6次以上(含6次)為體能達(dá)標(biāo),則該校125名九年級(jí)男生中估計(jì)有多少人體能達(dá)標(biāo)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2 ,0)和(3 ,0)之間,對(duì)稱軸是x=1.對(duì)于下列結(jié)論:① ab<0;② 2a+b=0;③ 3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù));⑤ 當(dāng)-1<x<3時(shí),y>0. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)
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