Question

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC上一點(diǎn)，E是BD中點(diǎn)，∠1=∠2，求證：∠ADB=2∠ABD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點(diǎn)A作AF∥BD，交CB的延長線于F，交CE的延長線于G，求出FG=AG，根據(jù)平行線求出∠ABG=∠BAG=∠ABD，推出∠GBE=2∠ABD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AGE=∠2=∠1=∠GAE，推出EA=EG，證△GBE≌△ADE，推出∠ADB=∠GBE即可．

解答：
證明：過點(diǎn)A作AF∥BD，交CB的延長線于F，交CE的延長線于G，
∵AF∥BD，
∴

BE

FG

=

CE

CG

=

ED

AG

，
∵E為BD的中點(diǎn)，
∴FG=AG，
∵∠ABC=∠ABF=90°，
∴AG=FG=BG，
∵AF∥BD，
∴∠ABG=∠BAG=∠ABD，
∴∠GBE=2∠ABD，
∵AF∥BD，∠1=∠2，
∴∠AGE=∠2=∠1=∠GAE，
∴EA=EG，
∵∠GAE=∠2=∠1，
∴在△GBE和△ADE中

BE=DE ∠BEG=∠1 EG=AE

∴△GBE≌△ADE，
∴∠ADB=∠GBE=2∠ABD．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．