Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，點D在直線BC上，E在AC上，且AC＝CD，DE＝AB．

（1）如圖②，將△ECD沿CB方向平移，使點E落在AB上，得△E1C1D1，求平移的距離；

（2）如圖③，將△ECD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在AB上，得△E2CD2，求旋轉(zhuǎn)角∠DCD2的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）平移距離為2﹣；（2）30°．

【解析】

（1）證明Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），得出BC＝CE，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出BE1＝2BC1，結(jié)合勾股定理求出BC1即可得出結(jié)論；

（2）△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)即∠ECE2的度數(shù)，易得：∠ECE2＝∠BAC＝30°，則答案可求出．

（1）解：∵∠ACB＝90°

∴∠ECD＝90°，

∵AC＝CD，DE＝AB．

∴Rt△ACB≌Rt△DCE（HL），

∴BC＝CE，

∵∠A＝30°，AB＝4，

∴BC＝AB＝2，

∴CE＝2，

由平移知，C1E1∥AC，C1E1＝CE＝2，

∴∠BE1C1＝∠A＝30°，

∴BE1＝2BC1，

∴BE12﹣BC12＝C1E12，

即：4BC12﹣BC12＝4，

∴BC1＝，

∴CC1＝BC﹣BC1＝2﹣；

即平移距離為2﹣，

故答案為：2﹣．

（2）解：旋轉(zhuǎn)角∠DCD2的度數(shù)是△ECD繞點C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，即∠ECE2的度數(shù)；

∵∠ABC＝60°，BC＝CE2＝2，AB＝4，

∴△E2BC是等邊三角形，

∴BC＝E2C＝E2B＝2，

∴AE2＝E2C＝2，

∴∠E2AC＝∠E2CA，

∴∠ECE2＝∠BAC＝30°，

∴∠DCD2＝∠ECE2＝30°，

故答案為：30°．