Question

等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點(diǎn)P．

（1）若AE=CF；

①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

②若AE=2，試求AP•AF的值；

（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

              （1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，

又∵AE=CF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS），

∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，

∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．

∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，

∴，即，所以AP•AF=12

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．

①當(dāng)AE=CF時，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，

∴∠AOB=120°，

又∵AB=6，

∴OA=，

點(diǎn)P的路徑是．

②當(dāng)AE=BF時，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)C向AB作的垂線段的長度；因?yàn)榈冗吶�角形ABC的邊長為6，所以點(diǎn)P的路徑為：．

所以，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長為或3．