Question

如圖，已知BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A分別作BD，CE的垂線，交BD，CE于點F，G，交直線BC于點M，N．求證：FG∥MN，F(xiàn)G=

1

2

（AB+BC+AC）．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：利用“角邊角”證明△ABF和△MBF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AF=MF，AB=MB，同理可得AG=NG，AC=NC，從而得到FG是△AMN的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明即可．

解答：證明：∵BD是△ABC的外角平分線，
∴∠ABF=∠MBF，
∵BD⊥AF，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
在△ABF和△MBF中，

∠ABF=∠MBF BF=BF ∠AFB=∠MFB

，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴AF=MF，AB=MB，
同理可得AG=NG，AC=NC，
∴FG是△AMN的中位線，
∴FG∥MN，
FG=

1

2

（MB+BC+NC），
即FG=

1

2

（AB+BC+AC）．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質，判斷出FG是△AMN的中位線是解題的關鍵，也是本題的難點．